Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2018

Resolução comentada

Um bloco só de algarismos 1 pode ficar dentro de um único número ou atravessar a fronteira entre dois números consecutivos.

Na fronteira, o primeiro número termina em uns e o seguinte começa com uns. Se n termina em 1, então n+1 termina em 2. Assim, a sequência de uns é formada pelos uns finais de n mais os uns iniciais de n+1.

1. Dentro de um número, o máximo é 4 uns, em 1111.
2. Na fronteira, queremos muitos uns no final de n e muitos no início de n+1. Os números vão só até 2018, então têm no máximo 4 algarismos.
3. Tomando n=1111, ele tem 4 uns no final. O seguinte é 1112, que tem 3 uns no início.
4. Na fila aparece \ldots1110\,1111\,1112\,1113\ldots, ou seja, \ldots0\,\mathbf{1111111}\,2\ldots. O bloco tem 4+3=7 uns, cercado por um 0 e um 2.
5. Para passar de 7 seria preciso, por exemplo, 4 uns no final de n e 4 no início de n+1. Isso é impossível, pois n+1 termina em 2 e 1111 só aparece uma vez. Com n=111 e n+1=112 o bloco teria só 3+2=5.

O maior bloco tem tamanho 7.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera só o número 1111, sem juntar com o número seguinte, 1112.
• BVem do bloco menor formado por 111 e 112, que dá 5 uns.
• CPerde um algarismo ao contar os uns de 1112 (conta 2 em vez de 3).
• ESoma 4 uns de 1111 com 4 uns do número seguinte, mas 1112 tem só 3 uns no início.

Assunto: Sistemas de numeração.

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