Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2018

Question

Janaína faz torres com cartões, seguindo o padrão da figura. A primeira torre foi feita com 2 cartões, a segunda com 7, a terceira com 15 e assim por diante. Quantos cartões ela deve acrescentar à décima torre para obter a décima primeira?

Ilustração mostrando as três primeiras torres feitas com cartões: a Torre 1 tem 2 cartões formando um triângulo sem base; a Torre 2 tem dois andares, com 1 cartão horizontal separando-os e totalizando 7 cartões; a Torre 3 tem três andares, totalizando 15 cartões. À direita, reticências indicam a continuação do padrão.

A
21
B
23
C
32
D
35
E
37

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Progressão aritmética

Janaína faz torres com cartões, seguindo o padrão da figura. A primeira torre foi feita com 2 cartões, a segunda com 7, a terceira com 15 e assim por diante. Quantos cartões ela deve acrescentar à décima torre para obter a décima primeira?

Ilustração mostrando as três primeiras torres feitas com cartões: a Torre 1 tem 2 cartões formando um triângulo sem base; a Torre 2 tem dois andares, com 1 cartão horizontal separando-os e totalizando 7 cartões; a Torre 3 tem três andares, totalizando 15 cartões. À direita, reticências indicam a continuação do padrão.

A
21
B
23
C
32
D
35
E
37

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Esquema ilustrando as três primeiras torres de cartas, rotuladas como "Torre 1", "Torre 2" e "Torre 3", seguidas de reticências "...". A Torre 1 é composta por duas cartas inclinadas que se apoiam; a Torre 2 possui dois pares de cartas na base sustentando uma carta horizontal e um par no topo; a Torre 3 possui três pares de cartas na base e três andares no total.]

Basta observar que da Torre 1 para a Torre 2 foram acrescentados 5 = 2 + 1 \times 3 cartões. De fato, para construir a Torre 2 a partir da Torre 1, foram acrescentados dois novos cartões (em contato com a mesa) e, a seguir, no topo foram acrescentados mais 3 cartões. De modo análogo, para construir a Torre 3 a partir da Torre 2, foram acrescentados à Torre 2 mais 8 = 2 + 2 \times 3 cartões, ou seja, dois novos cartões em contato com a mesa e 2 grupos de três cartões acima deles. Continuando, da Torre 3 para a 4 devem ser acrescentados 2 + 3 \times 3 = 11 cartões e assim sucessivamente, sempre colocando 2 cartões novos em contato com a mesa e mais grupos de 3 cartões até completar a torre seguinte. Concluímos, desse modo, que da torre 10 para a torre 11 devem ser acrescentados 2 + 10 \times 3 = 32 cartões.

Observe que a Torre N+1 é obtida da Torre N acrescentando-se 3N + 2 cartões.

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Resolução comentada

Para saber quantos cartões acrescentar, basta calcular a diferença entre torres consecutivas e achar o padrão.

Torres: 2, 7, 15, ...

Da torre 1 para a 2: 7-2=5.
Da torre 2 para a 3: 15-7=8.

As diferenças aumentam de 3 em 3 (5, 8, 11, 14, ...). Isso faz sentido na figura: cada andar novo traz mais um par de cartões inclinados (2 a mais) e mais um cartão horizontal (1 a mais), ou seja, 3 cartões a mais do que o acréscimo anterior.

O acréscimo da torre n para a torre n+1 é uma P.A. de primeiro termo 5 e razão 3:

a_n = 5 + 3(n-1)

Para passar da décima torre para a décima primeira, n=10:

a_{10} = 5 + 3\cdot 9 = 5+27 = 32

Conferindo a sequência de diferenças: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32. A décima diferença é 32.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AParece vir de outra conta com o padrão, não corresponde à décima diferença da P.A. (5, 8, 11, ...).
BÉ a diferença que leva da torre 8 para a 9 (oitavo termo), erro de posição na sequência.
DNão pertence à sequência de diferenças 5, 8, 11, ...; vem de contagem errada do padrão.
EPassa da conta: usa razão ou posição errada, ultrapassando o valor 32.

Assunto: Progressão aritmética.

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Questão 11 no caderno Nível 1 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗