Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2018

Question

Na figura temos um retângulo com área igual a 120\ \text{cm}^2, um círculo com área igual a 81\ \text{cm}^2 e um triângulo com área igual a 29\ \text{cm}^2. Qual é a diferença entre a soma das áreas das regiões azuis e a área da região vermelha?

Três figuras geométricas sobrepostas: um retângulo, um círculo e um triângulo. As regiões do retângulo e do triângulo externas ao círculo estão coloridas de azul; as regiões de interseção do círculo com o retângulo e com o triângulo estão em branco; e a região restante do círculo está colorida de vermelho.

A
68\ \text{cm}^2
B
55\ \text{cm}^2
C
35\ \text{cm}^2
D
29\ \text{cm}^2
E
10\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2018

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura temos um retângulo com área igual a 120\ \text{cm}^2, um círculo com área igual a 81\ \text{cm}^2 e um triângulo com área igual a 29\ \text{cm}^2. Qual é a diferença entre a soma das áreas das regiões azuis e a área da região vermelha?

Três figuras geométricas sobrepostas: um retângulo, um círculo e um triângulo. As regiões do retângulo e do triângulo externas ao círculo estão coloridas de azul; as regiões de interseção do círculo com o retângulo e com o triângulo estão em branco; e a região restante do círculo está colorida de vermelho.

A
68\ \text{cm}^2
B
55\ \text{cm}^2
C
35\ \text{cm}^2
D
29\ \text{cm}^2
E
10\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Rotulamos as áreas como na figura ao lado. A soma das áreas das regiões azuis é A + C, e a área da região vermelha é E. Queremos calcular A + C - E. Como A + B é a área do retângulo, C + D é a área do triângulo e B + D + E é a área do círculo, temos:

A + C - E = (A + B) + (C + D) - (B + D + E) = 120 + 29 - 81 = 68\ \text{cm}^2.

[Figura: Diagrama com um retângulo, um círculo e um triângulo que se interceptam. A região externa do retângulo é rotulada como A; a interseção do retângulo com o círculo é B; a região externa do triângulo é C; a interseção do triângulo com o círculo é D; e a região não sobreposta do círculo é E.]

Outra solução: A diferença pedida pode ser calculada por uma “balança que pesa áreas”, como na Figura 1; nela o prato esquerdo “pesa” 81\ \text{cm}^2 (círculo completo) e o prato direito pesa 120 + 29 = 149\ \text{cm}^2 (retângulo e triângulo completos); a diferença entre os pesos é 149 - 81 = 68\ \text{cm}^2. O resultado dessa “pesagem” não muda quando retiramos áreas iguais (partes brancas B e D) dos dois pratos, como na Figura 2. Logo, a diferença entre a soma das áreas azuis e a área vermelha é 68\ \text{cm}^2.

[Figura: Duas balanças de dois pratos inclinadas para a direita, indicando que o lado direito é mais pesado. Na Figura 1, o prato esquerdo contém o círculo completo dividido em E, B e D, e o prato direito contém o retângulo (A e B) e o triângulo (C e D). Na Figura 2, após retirar as regiões brancas B e D de ambos os lados, o prato esquerdo contém apenas a região E e o prato direito contém as regiões A e C.]

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Resolução comentada

Chame de x a área da interseção do círculo com o retângulo e de y a área da interseção do círculo com o triângulo. Essas são as regiões brancas, e o retângulo e o triângulo não se sobrepõem entre si dentro do círculo.

Parte azul do retângulo: 120 - x.
Parte azul do triângulo: 29 - y.
Parte vermelha (círculo sem as interseções): 81 - x - y.

A soma das regiões azuis é:

(120 - x) + (29 - y) = 149 - x - y

A diferença pedida é:

(149 - x - y) - (81 - x - y) = 149 - 81 = 68

Os valores x e y se cancelam, então não precisamos conhecê-los. A diferença vale 68\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem base no cálculo; não corresponde a nenhuma combinação correta das áreas.
CNão corresponde a nenhuma combinação correta das áreas, pois ignora que as interseções se cancelam.
DApenas repete a área do triângulo, sem fazer a diferença correta.
EValor sem base no cálculo; não decorre de 149-81.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 10 no caderno Nível 1 da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗