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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

José gosta de inventar operações matemáticas entre dois números naturais. Ele inventou uma operação \blacksquare em que o resultado é a soma dos números seguida de tantos zeros quanto for o resultado dessa soma. Por exemplo,

2 \blacksquare 3 = 5\underbrace{00000}_{5\text{ \textit{zeros}}} \quad \text{e} \quad 7 \blacksquare 0 = 7\underbrace{0000000}_{7\text{ \textit{zeros}}}\ .

Quantos zeros há no resultado da multiplicação abaixo?

(1 \blacksquare 0) \times (1 \blacksquare 1) \times (1 \blacksquare 2) \times (1 \blacksquare 3) \times (1 \blacksquare 4)
  1. A
    5
  2. B
    10
  3. C
    14
  4. D
    16
  5. E
    18
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Resolução comentada

Pela definição, a \blacksquare b é a soma s=a+b escrita seguida de s zeros, ou seja, s \times 10^{s}.

Calculando cada fator:

  1. 1 \blacksquare 0: soma 1, então 1\times 10^{1}.
  2. 1 \blacksquare 1: soma 2, então 2\times 10^{2}.
  3. 1 \blacksquare 2: soma 3, então 3\times 10^{3}.
  4. 1 \blacksquare 3: soma 4, então 4\times 10^{4}.
  5. 1 \blacksquare 4: soma 5, então 5\times 10^{5}.

Multiplicando tudo:

(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)\times 10^{1+2+3+4+5} = 120\times 10^{15}

A potência de 10 já dá 15 zeros no final. Além disso, o número 120 termina em um zero, que também fica no final do resultado: 120\times 10^{15} = 12\times 10^{16}.

Portanto, o resultado é 12 seguido de 16 zeros, com 16 zeros no total.

O cuidado é lembrar que o produto 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120 contribui com mais um zero, além dos 15 vindos das potências.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa que engana é a de 15 zeros (que não aparece entre as opções como tal), por isso o erro comum é esquecer o zero do 120; a opção D exige esse zero extra.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só os zeros de um dos fatores ou o número de fatores, sem somar os expoentes.
  • BNão corresponde à soma dos expoentes; valor sem base no cálculo.
  • CNão corresponde ao resultado; valor sem base no cálculo.
  • ESoma zeros a mais; o total correto é 15 das potências mais 1 do 120.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗