Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Com pentágonos regulares com 1\text{ cm} de lado, formamos uma sequência de polígonos como na figura. O perímetro do primeiro polígono é 5\text{ cm}, o perímetro do segundo é 8\text{ cm}, e assim por diante. Quantos pentágonos são necessários para formar um polígono com perímetro igual a 1736\text{ cm}?

Sequência de polígonos formados pela junção de pentágonos regulares lado a lado

A
570
B
572
C
574
D
576
E
578

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Progressão aritmética

Com pentágonos regulares com 1\text{ cm} de lado, formamos uma sequência de polígonos como na figura. O perímetro do primeiro polígono é 5\text{ cm}, o perímetro do segundo é 8\text{ cm}, e assim por diante. Quantos pentágonos são necessários para formar um polígono com perímetro igual a 1736\text{ cm}?

Sequência de polígonos formados pela junção de pentágonos regulares lado a lado

A
570
B
572
C
574
D
576
E
578

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[Figura: sequência de figuras formadas por pentágonos regulares cinzas com contorno externo destacado em preto, seguida de reticências. A 1ª figura tem 1 pentágono; a 2ª tem 2 pentágonos unidos por um lado; a 3ª tem 3 pentágonos e a 4ª tem 4 pentágonos, alternando pentágonos embaixo e em cima.]

Cada figura da sequência, a partir da segunda, é formada a partir da anterior com a anexação de um pentágono regular de lado 1\ \text{cm}, fazendo-se coincidir um lado da figura anterior com um lado do pentágono adicionado. Isto implica que, a cada nova adição, o perímetro aumente 3\ \text{cm}. Assim, os perímetros das figuras da sequência são 5, 8 = 5 + 1 \times 3, 11 = 5 + 2 \times 3, 14 = 5 + 3 \times 3, etc. Se n é o número de polígonos que foram adicionados ao primeiro, então o perímetro da figura é 5 + 3n. No caso da figura com perímetro 1736, temos 1736 = 5 + 3n \Leftrightarrow 3n = 1731 \Leftrightarrow n = 577. Portanto, esta figura é composta de 577 + 1 = 578 pentágonos.

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Resolução comentada

Cada pentágono tem perímetro 5\ \text{cm}. Ao juntar um novo pentágono a um polígono já formado, ele compartilha lados com os anteriores, e os lados compartilhados deixam de contar no perímetro.

Pela figura, o perímetro dos polígonos é: 1º: 5; 2º: 8; 3º: 11; 4º: 14. O 2º polígono tem 2 pentágonos e 1 lado compartilhado: 10-2=8. O 3º tem 3 pentágonos e 2 lados compartilhados (cada um tira 2 cm): 15-4=11. O 4º tem 4 pentágonos e 3 lados compartilhados: 20-6=14. Confere.

Logo, cada pentágono acrescentado soma 3\ \text{cm} ao perímetro: ele traz 5 lados, mas 1 lado dele e 1 lado do polígono anterior ficam escondidos, ou seja, 5-2=3.

O perímetro do polígono com n pentágonos é uma progressão aritmética:

P_n = 5 + 3(n-1) = 3n + 2

Impondo P_n = 1736:

3n + 2 = 1736
3n = 1734
n = 578

Verificação: 3\cdot 578 + 2 = 1734 + 2 = 1736.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com 3n+2=1736; resultaria em perímetro bem menor que 1736.
BCom n=572, o perímetro seria 3\cdot572+2=1718, não 1736.
CCom n=574, o perímetro seria 1724, não 1736.
DCom n=576, o perímetro seria 1730, não 1736.

Assunto: Progressão aritmética.

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Questão 7 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗