Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Vários quadrados foram dispostos um ao lado do outro, em ordem crescente de tamanho, formando uma figura com 100\ \text{cm} de base. O lado do maior quadrado mede 20\ \text{cm}. Qual é o perímetro (medida do contorno em vermelho) da figura formada por esses quadrados?

Quadrados de tamanhos crescentes dispostos lado a lado com contorno em vermelho, indicando uma base de 100 cm e a altura do maior quadrado à direita de 20 cm

A
220\ \text{cm}
B
240\ \text{cm}
C
260\ \text{cm}
D
300\ \text{cm}
E
400\ \text{cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Vários quadrados foram dispostos um ao lado do outro, em ordem crescente de tamanho, formando uma figura com 100\ \text{cm} de base. O lado do maior quadrado mede 20\ \text{cm}. Qual é o perímetro (medida do contorno em vermelho) da figura formada por esses quadrados?

Quadrados de tamanhos crescentes dispostos lado a lado com contorno em vermelho, indicando uma base de 100 cm e a altura do maior quadrado à direita de 20 cm

A
220\ \text{cm}
B
240\ \text{cm}
C
260\ \text{cm}
D
300\ \text{cm}
E
400\ \text{cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para calcular o perímetro da figura, observamos que o contorno é formado por dois segmentos cujas medidas são 100 cm e 20 cm, um conjunto de segmentos horizontais (que estão acima da base de 100 cm) e um conjunto de segmentos verticais (que estão à esquerda do lado do quadrado maior de 20 cm). A soma dos comprimentos dos segmentos horizontais corresponde à soma dos comprimentos dos lados dos quadrados que foram dispostos lado a lado na parte inferior da figura, e essa soma é 100 cm. Por outro lado, a soma dos comprimentos dos segmentos verticais é igual ao comprimento do lado do quadrado maior, isto é, 20 cm.

O perímetro é, portanto, 100 + 20 + 100 + 20 = 240\text{ cm}.

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Resolução comentada

O contorno vermelho é formado por segmentos horizontais (a base e os topos dos quadrados) e segmentos verticais (os degraus e as laterais).

A ideia é deslocar os segmentos para o lado até formar um retângulo.

Base: mede 100\ \text{cm}.
Topos dos quadrados: cada trecho horizontal da escada, deslocado para baixo, encaixa na base. Juntos, os trechos horizontais de cima somam o mesmo comprimento da base, 100\ \text{cm}.
Trechos verticais: cada degrau sobe e a soma de todas as subidas é a altura do maior quadrado, 20\ \text{cm}. Deslocando os trechos para a direita, eles formam o lado direito do retângulo. Do lado esquerdo, o menor quadrado também fecha a figura, e somando tudo temos 20\ \text{cm} de subida mais 20\ \text{cm} da lateral direita.

O perímetro é o mesmo de um retângulo de 100\ \text{cm} por 20\ \text{cm}:

P = 2\cdot(100+20) = 240\ \text{cm}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASoma só a base, o topo e uma lateral (100 + 100 + 20), esquecendo o lado vertical que sobe até o topo à esquerda.
CSoma um valor a mais, contando alguma lateral vertical duas vezes.
DNão corresponde ao perímetro do retângulo equivalente de 100 por 20.
ESoma 100 + 100 + 100 + 100, tratando a figura como se tivesse altura 100.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 8 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗