Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2017

Resolução comentada

Cada face do cubo 5\times5\times5 tem 25 cubinhos, que podem ser separados em 5 blocos de 5 cubinhos alinhados, todos paralelos entre si. Na face de cima, por exemplo, tomamos as 5 fileiras ao longo de uma direção.

O mesmo vale para o cubo inteiro: ele pode ser dividido em 25 blocos de 5 cubinhos alinhados, todos na mesma direção, e esses blocos não se repetem nem deixam cubinho de fora.

1. Seja S a soma de cada bloco de 5 cubinhos. Como o cubo tem 25 blocos paralelos, a soma total é 25S.
2. Então 25S = 7875, logo S = \dfrac{7875}{25} = 315.
3. Uma face tem 25 cubinhos, que formam 5 blocos alinhados de 5 cubinhos. Cada bloco soma 315.
4. A soma da face é 5 \times 315 = 1575.

Confirmação: o cubo tem 5 camadas paralelas à face, e cada camada é uma face igual em estrutura, com soma 1575. Assim, 5\times1575 = 7875, que é o total dado.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem para após achar a soma de um bloco (315) e esquece de multiplicar por 5 blocos da face; a E engana quem confunde face com cubo inteiro.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ a soma de um único bloco de 5 cubinhos, não da face inteira.
• CNão corresponde a nenhum raciocínio válido; é o resultado de 7875 dividido por 2,74, sem sentido no problema.
• DEquivale a 7875 × 5 ÷ 7, sem relação com a divisão do cubo em 5 camadas.
• EÉ a soma de todos os cubinhos, ou seja, do cubo inteiro, não de uma face.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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