Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2017

Resolução comentada

Seja n o número. As condições dizem que n+1 é múltiplo de 11 e que n-1 é múltiplo de 8.

Considere o produto (n+1)(n-1) = n^2 - 1. Como n+1 é múltiplo de 11 e n-1 é múltiplo de 8, o produto é múltiplo de 11 \cdot 8 = 88.

1. n+1 = 11a e n-1 = 8b, com a e b inteiros.
2. Multiplicando: n^2 - 1 = 11a \cdot 8b = 88ab.
3. Logo n^2 = 88ab + 1.

Isso mostra que n^2 deixa resto 1 na divisão por 88 (e 1 é menor que 88, então é de fato o resto).

Teste: n = 43 dá n+1 = 44 = 11\cdot 4 e n-1 = 42, que não é múltiplo de 8. Já n = 65 dá n+1 = 66 = 11\cdot 6 e n-1 = 64 = 8\cdot 8, servindo. Então 65^2 = 4225 = 88\cdot 48 + 1, pois 88\cdot 48 = 4224. Resto 1, como previsto.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConfunde n^2-1 ser múltiplo de 88 com n^2 ser múltiplo de 88; esquece de somar o 1.
• CNão decorre de nenhuma conta; o resto de n^2 é 1, não 8.
• DNão corresponde ao resultado; o teste com n=65 dá resto 1.
• ESeria resto de n^2-1 ou outro valor sem relação; n^2-1 é múltiplo de 88, não deixa resto 80.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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