Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Um ponto está a 1\ \text{cm} de uma figura quando a menor distância desse ponto aos pontos da figura é 1\ \text{cm}. Celinha traçou com uma caneta vermelha todos os pontos que estão a 1\ \text{cm} de distância do círculo da Figura 1. A seguir, ela fez o mesmo para a região quadrada da Figura 2. Qual é o desenho que ela vai obter se traçar todos os pontos que estão a 1\ \text{cm} de distância da região poligonal da Figura 3?

Figura 1 mostrando um círculo verde contornado à distância por uma circunferência vermelha, e Figura 2 mostrando um quadrado verde contornado à distância por uma linha vermelha com lados retos e cantos arredondados. Figura 3 mostrando uma região poligonal verde não convexa composta por dois trapézios unidos.

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Um ponto está a 1\ \text{cm} de uma figura quando a menor distância desse ponto aos pontos da figura é 1\ \text{cm}. Celinha traçou com uma caneta vermelha todos os pontos que estão a 1\ \text{cm} de distância do círculo da Figura 1. A seguir, ela fez o mesmo para a região quadrada da Figura 2. Qual é o desenho que ela vai obter se traçar todos os pontos que estão a 1\ \text{cm} de distância da região poligonal da Figura 3?

Figura 1 mostrando um círculo verde contornado à distância por uma circunferência vermelha, e Figura 2 mostrando um quadrado verde contornado à distância por uma linha vermelha com lados retos e cantos arredondados. Figura 3 mostrando uma região poligonal verde não convexa composta por dois trapézios unidos.

A
B
C
D
E

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como a distância de um ponto a uma figura geométrica é a menor distância desse ponto aos pontos da figura, o desenho que Celinha obtém ao traçar os pontos que estão a 1 cm da Figura 3 é a trajetória do centro de um círculo de raio 1 quando este se move pelo contorno da figura tangenciando-o. Nesse caso, as curvas obtidas são segmentos de retas ou arcos de circunferências. Nos vértices em que a figura se lança para fora, aparecem arcos de circunferências, mas isto não ocorre nos dois vértices em que a figura se lança para dentro (marcados com as setas largas).

[Figura: Esquema geométrico que ilustra o contorno da Figura 3 (polígono preenchido em azul-claro com seus vértices assinalados por pontos vermelhos) rodeado pelo traçado de contorno externo a uma distância fixa. No canto superior esquerdo, um círculo tangencia o polígono com uma seta circular indicando seu movimento de rotação/deslocamento ao redor da figura. Duas setas largas azuis indicam os dois vértices côncavos (que se voltam para dentro) onde a curva externa não forma arcos de circunferência arredondados para fora.]

Outra solução: Uma maneira de obter o traço cujos pontos distam 1 cm da Figura 3 é considerar o contorno da figura formada ao considerar a união dos discos (círculos preenchidos) de raio 1 cm centrados em pontos da Figura 3. O contorno dessa união de discos aparece representado na alternativa A.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Pela definição, o ponto está a 1\ \text{cm} da figura quando o ponto da figura mais próximo dele fica a 1\ \text{cm}. Na Figura 2, isso gera uma curva com três tipos de trecho:

Ao lado de cada lado do quadrado, a linha vermelha é um segmento paralelo a esse lado, deslocado 1\ \text{cm} para fora.
Em cada vértice convexo (canto para fora), o ponto mais próximo é o próprio vértice. A curva é então um arco de circunferência de raio 1\ \text{cm} centrado no vértice, o que dá os cantos arredondados.
Em um vértice côncavo (canto para dentro), os dois segmentos paralelos aos lados vizinhos se cruzam e formam um ângulo na curva, sem arredondamento.

A Figura 3 é uma região poligonal não convexa, com dois vértices côncavos, um de cada lado do "Z". Aplicando as regras:

os trechos retos da curva ficam paralelos aos lados do polígono;
os vértices convexos viram arcos de raio 1\ \text{cm}, então os cantos externos são arredondados;
os vértices côncavos viram cantos em ângulo.

A alternativa B tem só segmentos e vértices angulosos, o que ignora os arcos. As alternativas C, D e E mostram arcos grandes sobre o lado menor do trapézio, o que não acontece com um raio de 1\ \text{cm}. A única figura com retas paralelas aos lados, cantos externos arredondados e cantos internos angulosos é a A.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem pensa que basta deslocar os lados para fora, esquecendo que em cada vértice convexo a curva é um arco de raio 1 cm.

Por que as outras alternativas estão erradas

BDesenha apenas segmentos e cantos angulosos, esquecendo que nos vértices convexos a curva é um arco de raio 1 cm.
CMostra arcos grandes sobre o lado da figura, em vez de segmentos paralelos aos lados com arcos só nos vértices.
DMostra um pico curvo sobre o lado da figura, em vez de segmento paralelo ao lado e arcos nos vértices.
EMostra uma curva grande sobre o lado da figura, em vez de segmento paralelo e arcos só nos vértices.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2017 · Questão 3 (Nível 3)Um ponto está a 1 cm de uma figura quando a menor distância desse ponto aos pontos da figura é 1 cm. Celinha traçou com uma caneta vermelha todos os…

Ver como caiu na prova

Questão 5 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗