Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Na sequência 1, 5, 4, -1, -5, ... cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seus dois vizinhos; por exemplo: 5 = 1 + 4, 4 = 5 + (-1) e -1 = 4 + (-5). Qual é a soma dos 1000 primeiros termos dessa sequência?

A
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B
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C
4
D
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E
10

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Na sequência 1, 5, 4, -1, -5, ... cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seus dois vizinhos; por exemplo: 5 = 1 + 4, 4 = 5 + (-1) e -1 = 4 + (-5). Qual é a soma dos 1000 primeiros termos dessa sequência?

A
0
B
1
C
4
D
9
E
10

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

De acordo com o enunciado, cada termo, a partir do terceiro, é igual à diferença entre seus dois antecessores imediatos. Assim, percebemos que a sequência é periódica, uma vez que, dando continuidade à sua construção, observamos que seus termos repetem-se a cada 6 posições. Esse fato é evidente, pois o sétimo termo é igual ao primeiro e o oitavo, igual ao segundo. Consequentemente, o nono é igual ao terceiro, pois é o resultado da mesma diferença, como vemos abaixo:

1, 5, 4, -1, -5, -4 = -5 - (-1), 1 = -4 - (-5), 5 = 1 - (-4), \dots

Consequentemente, como 1000 = 6 \times 166 + 4 = 996 + 4, os primeiros 1000 termos da sequência são obtidos justapondo-se 166 blocos contendo exatamente os 6 primeiros números da sequência, seguidos dos quatro primeiros números (da sequência), como indicado abaixo:

[Figura: representação da sequência numérica com os blocos de 6 termos "1, 5, 4, -1, -5, -4" agrupados por chaves inferiores identificadas como "1º bloco", "2º bloco", reticências e "166º bloco", seguidos pelos quatro termos restantes "1, 5, 4, -1".]

Finalmente, como a soma dos números em cada bloco é igual a zero, concluímos que a soma dos 1000 primeiros números da sequência é igual a soma dos últimos quatro termos, a saber, 1 + 5 + 4 + (-1) = 9.

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Resolução comentada

A regra diz que cada termo é a soma de seus dois vizinhos: a_n = a_{n-1} + a_{n+1}. Isolando o termo seguinte, temos a_{n+1} = a_n - a_{n-1}.

Com a_1=1 e a_2=5, calculamos os termos seguintes:

a_3 = 5 - 1 = 4
a_4 = 4 - 5 = -1
a_5 = -1 - 4 = -5
a_6 = -5 - (-1) = -4
a_7 = -4 - (-5) = 1
a_8 = 1 - (-4) = 5

Os termos a_7 e a_8 são iguais a a_1 e a_2. Como cada termo depende só dos dois anteriores, a sequência se repete de 6 em 6: 1, 5, 4, -1, -5, -4, \ldots

A soma de um período é 1+5+4-1-5-4 = 0.

Como 1000 = 6\cdot 166 + 4, temos 166 períodos completos, que somam 0, e sobram os 4 primeiros termos de um novo período:

1+5+4+(-1) = 9

Logo, a soma dos 1000 primeiros termos é 9.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera só os períodos completos e esquece os 4 termos restantes (1000 não é múltiplo de 6).
BSobraria só o primeiro termo, o que ocorreria se o resto da divisão por 6 fosse 1.
CSoma apenas 3 termos restantes (1+5+4 = 10 ou erra o sinal), não os 4 corretos.
ESoma 10 = 1+5+4, esquecendo o quarto termo, -1.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗