Questão 2 (Nível 3) da OBMEP 2017

Resolução comentada

Use o produto notável do quadrado da diferença:

Ele relaciona exatamente as três quantidades do problema: a-b, ab e a^2+b^2. Então basta substituir os valores dados.

1. Substituindo a-b=1 no lado esquerdo: (a-b)^2 = 1^2 = 1.
2. Substituindo ab=1 no termo do meio: 2ab = 2\cdot 1 = 2.
3. Montando a igualdade: 1 = a^2 + b^2 - 2.
4. Isolando a^2+b^2: a^2+b^2 = 1 + 2 = 3.

Não é preciso encontrar a e b separadamente. Eles existem (são números reais, pois a^2 - a - 1 = 0 tem solução), mas o valor de a^2+b^2 sai direto da identidade.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa só (a-b)^2=1 e esquece de somar 2ab para chegar a a^2+b^2.
• BConfunde a^2+b^2 com 2ab, ou soma 1+1 sem seguir a identidade.
• DTroca o sinal e usa (a+b)^2, ou soma 1+2ab+1, obtendo 4.
• ESoma a^2+b^2 = 1+2\cdot 2, errando a conta de 2ab ou o sinal.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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