Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2017

Question

Uma caixa contém nove bolas idênticas numeradas de 1 a 9. Uma primeira bola é sorteada, seu número é anotado e a bola é devolvida à caixa. Repete-se esse procedimento mais duas vezes, anotando-se também os números da segunda e terceira bolas sorteadas. Qual é a probabilidade de que a soma dos números nas duas primeiras bolas sorteadas não seja um múltiplo de 3 e a soma dos números nas três bolas sorteadas seja um múltiplo de 3?

A
\frac{2}{9}
B
\frac{1}{3}
C
\frac{2}{3}
D
\frac{6}{9}
E
\frac{7}{9}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2017

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Uma caixa contém nove bolas idênticas numeradas de 1 a 9. Uma primeira bola é sorteada, seu número é anotado e a bola é devolvida à caixa. Repete-se esse procedimento mais duas vezes, anotando-se também os números da segunda e terceira bolas sorteadas. Qual é a probabilidade de que a soma dos números nas duas primeiras bolas sorteadas não seja um múltiplo de 3 e a soma dos números nas três bolas sorteadas seja um múltiplo de 3?

A
\frac{2}{9}
B
\frac{1}{3}
C
\frac{2}{3}
D
\frac{6}{9}
E
\frac{7}{9}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O espaço amostral desse experimento é formado pelas trincas (a, b, c) com a, b e c variando de 1 a 9, ou seja, 9 \times 9 \times 9 = 729 pontos equiprováveis.

Observe que um número natural pode ser múltiplo de 3 ou estar a uma distância 1 ou 2 do próximo múltiplo de 3. Por exemplo, 4 está a uma distância 2 de 6, e 5 a uma distância 1 de 6.

Assim, a pode ser escolhido de 9 maneiras, e b não pode assumir 3 dos 9 valores, isto é, ou não pode assumir 3, 6 e 9, ou não pode assumir 1, 4 e 7, ou não pode assumir 2, 5 e 8. Assim, b pode assumir 6 valores.

Para a escolha de c, utilizamos o mesmo argumento, só que agora queremos que assuma um dos três valores que tornem o resultado da soma a + b + c um múltiplo de 3.

Portanto, o número de pontos que satisfazem o enunciado é 9 \times 6 \times 3 = 162, e a probabilidade é 162/729=2/9.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Só importa o resto da divisão por 3. Entre os números de 1 a 9, há 3 com resto 0 (3, 6, 9), 3 com resto 1 (1, 4, 7) e 3 com resto 2 (2, 5, 8). Cada resto tem probabilidade \frac{1}{3}, e os sorteios são independentes, porque a bola é devolvida.

A soma das duas primeiras é múltiplo de 3 quando os restos são (0,0), (1,2) ou (2,1). São 3 das 9 combinações de restos, ou seja, probabilidade \frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
A probabilidade de não ser múltiplo de 3 é 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Nesse caso, a soma das duas primeiras tem resto 1 ou 2. Para a soma das três ser múltiplo de 3, a terceira bola precisa ter exatamente um resto: se a soma tem resto 1, a terceira deve ter resto 2; se tem resto 2, deve ter resto 1. Como 3 das 9 bolas têm esse resto, a probabilidade é \frac{3}{9}=\frac{1}{3}, qualquer que seja o caso.
Multiplicando, pela independência:

\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BUsa só a probabilidade de a terceira bola ter o resto certo, \frac{1}{3}, e esquece de multiplicar pela condição sobre as duas primeiras.
CConsidera apenas que a soma das duas primeiras não é múltiplo de 3, \frac{2}{3}, ignorando a condição da terceira bola.
D\frac{6}{9} é o mesmo valor de \frac{2}{3}, a probabilidade só da primeira condição.
ENão corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo; é um valor sem base na contagem de restos.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 3. Prova oficial ↗