Questão 2 (Nível 1) da OBMEP 2017

Resolução comentada

Considere cada quadradinho como uma unidade de área. Podemos dividir a estrela em uma parte central e quatro pontas triangulares.

1. Imagine um quadrado central de 4 \times 4 quadradinhos, com lados sobre as linhas do quadriculado e centro no mesmo ponto que a estrela. Sua área é:
   

   4\cdot 4=16.
   
   Porém, nos quatro cantos desse quadrado há pequenos triângulos que não estão pintados de azul. Cada um tem base e altura iguais ao lado de um quadradinho, portanto sua área é:
   
   \frac{1\cdot 1}{2}=\frac12.
   
   Assim, a parte azul dentro do quadrado central ocupa:
   
   16-4\cdot\frac12=14.

2. Fora desse quadrado ficam as quatro pontas da estrela. Cada ponta é um triângulo com base de 2 lados de quadradinho e altura também de 2. A área de cada uma é:
   

   \frac{2\cdot 2}{2}=2.
   
   As quatro pontas somam 4\cdot 2=8 unidades de área.

Somando as partes, a área azul corresponde a:

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem liga as quatro pontas e calcula a área do losango, ignorando as reentrâncias da estrela.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AO valor 12 não corresponde à soma das áreas da parte central e das quatro pontas.
• C32 é a área do losango que liga as quatro pontas extremas, incluindo regiões que não estão azuis.
• D64 é a área do quadrado de 8 por 8 que envolve a estrela, não apenas da região azul.
• E100 supera até a área do quadrado de 8 por 8 que contém toda a estrela.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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