Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2017

Resolução comentada

Fatore: 2310 = 2\times 3\times 5\times 7\times 11, cinco primos distintos, cada um com expoente 1.

Como o produto é 2310, cada primo deve ir inteiramente para um dos três números a, b ou c. Mas atenção: os números naturais podem ser 1, e o conjunto \{a,b,c\} tem três elementos, então eles precisam ser distintos (conjuntos não repetem elementos). Vamos contar.

1. Distribuir 5 primos entre 3 números rotulados: 3^5 = 243 maneiras (ordenadas).
2. Como os números são todos distintos (dois iguais exigiriam um quadrado dividindo 2310, impossível, exceto o caso de dois números iguais a 1), subtraia os casos com repetição: dois números iguais a 1 e o terceiro 2310. Isso ocorre em 3 distribuições (todos os primos em um só número).
3. Distribuições com três números distintos: 243-3=240.
4. Como o conjunto não tem ordem, divida por 3!=6: 240/6=40.

Verificação: o caso \{1,1,2310\} não forma conjunto de três elementos, por isso foi retirado. Os demais 240 têm números distintos, pois dois iguais maiores que 1 compartilhariam primos.

Alternativa E.

Pegadinha: Dividir 243 por 6 sem retirar os 3 casos com números repetidos (1,1,2310) dá resultado não inteiro; é preciso tirá-los antes.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a contagem correta; não corresponde a 240/6.
• BErro de contagem das distribuições dos primos; não chega a 240/6.
• CUsa 2^5, como se houvesse só dois números, em vez de três.
• DNão corresponde à contagem correta de (3^5-3)/6.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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