Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2017

Question

Uma escola fez uma pesquisa com todos os alunos do sexto ano para verificar se eles gostavam de banana, maçã ou laranja. Cada aluno assinalou pelo menos uma dessas três frutas. A tabela abaixo apresenta os resultados da pesquisa.

Ilustração de um menino marcando com traços em X as figuras de uma banana e de uma maçã em uma folha com desenhos de banana, maçã e laranja, sob a qual está escrito "PESQUISA"

	6.º A	6.º B	6.º C
Banana	20	15	14
Maçã	12	20	12
Laranja	18	5	10

Por exemplo, 20 alunos do 6.º A assinalaram que gostam de banana. Quantos alunos há, no mínimo e no máximo, no sexto ano dessa escola?

A
No mínimo 54 e no máximo 126 alunos.
B
No mínimo 54 e no máximo 58 alunos.
C
No mínimo 27 e no máximo 54 alunos.
D
No mínimo 27 e no máximo 126 alunos.
E
No mínimo 31 e no máximo 58 alunos.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2017

Nível 1 · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Uma escola fez uma pesquisa com todos os alunos do sexto ano para verificar se eles gostavam de banana, maçã ou laranja. Cada aluno assinalou pelo menos uma dessas três frutas. A tabela abaixo apresenta os resultados da pesquisa.

Ilustração de um menino marcando com traços em X as figuras de uma banana e de uma maçã em uma folha com desenhos de banana, maçã e laranja, sob a qual está escrito "PESQUISA"

	6.º A	6.º B	6.º C
Banana	20	15	14
Maçã	12	20	12
Laranja	18	5	10

Por exemplo, 20 alunos do 6.º A assinalaram que gostam de banana. Quantos alunos há, no mínimo e no máximo, no sexto ano dessa escola?

A
No mínimo 54 e no máximo 126 alunos.
B
No mínimo 54 e no máximo 58 alunos.
C
No mínimo 27 e no máximo 54 alunos.
D
No mínimo 27 e no máximo 126 alunos.
E
No mínimo 31 e no máximo 58 alunos.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O maior número da primeira coluna é 20, o que mostra que o 6.^o A tem pelo menos 20 alunos. Do mesmo modo, vemos que o 6.^o B e o 6.^o C têm no mínimo 20 e 14 alunos, respectivamente. Segue que o número mínimo possível de alunos do 6.^o ano dessa escola é 20 + 20 + 14 = 54. Em outras palavras, concluímos que o número de alunos do 6.^o ano é maior do que ou igual a 54.

É interessante mostrar que a tabela acima pode vir de uma turma de 6.^o ano com exatamente 54 alunos. Isso acontece quando a turma do 6.^o A tem 20 alunos, dos quais todos escolheram banana, 18 escolheram banana e laranja e 12 escolheram as três frutas; a turma do 6.^o B tem 20 alunos, dos quais todos escolheram maçã, 15 escolheram banana e maçã e 5 escolheram as três frutas; e a turma do 6.^o C tem 14 alunos, dos quais todos escolheram banana, 12 escolheram banana e maçã e 10 escolheram as três frutas.

Observamos agora que o maior número possível de alunos do 6.^o A é 20 + 12 + 18 = 50; analogamente, o 6.^o B e o 6.^o C têm no máximo 15 + 20 + 5 = 40 e 14 + 12 + 10 = 36 alunos, respectivamente. Segue que o número máximo possível de alunos do 6.^o ano é 50 + 40 + 36 = 126.

Essa conclusão diz que o número de alunos do 6.^o ano é menor do que ou igual a 126. Uma turma de 6.^o ano com exatamente 126 alunos na qual a pesquisa tenha tido o resultado da tabela acontece quando a turma do 6.^o A tem 50 alunos, a turma do 6.^o B tem 40 e a turma do 6.^o C tem 36, sendo que cada aluno escolheu uma única fruta.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada aluno marcou pelo menos uma fruta, então o total de alunos de cada turma fica entre o maior número de marcações em uma só fruta (mínimo) e a soma das três (máximo).

O mínimo ocorre quando todos que gostam de maçã e de laranja também gostam da fruta mais votada. O máximo ocorre quando ninguém marcou duas frutas.

6.º A: mínimo =20 (banana); máximo =20+12+18=50.
6.º B: mínimo =20 (maçã); máximo =15+20+5=40.
6.º C: mínimo =14 (banana); máximo =14+12+10=36.

Somando as três turmas:

\text{mínimo}=20+20+14=54

\text{máximo}=50+40+36=126

Portanto, o sexto ano tem no mínimo 54 e no máximo 126 alunos.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BUsa 54 como mínimo, certo, mas o máximo 58 não corresponde à soma das marcações das turmas.
CValores muito baixos, sem relação com o maior número por turma nem com a soma das marcações.
DO máximo 126 está certo, mas o mínimo 27 não corresponde à soma dos maiores valores de cada turma.
EMínimo 31 e máximo 58 não vêm de nenhum raciocínio válido sobre as turmas.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Tabelas e distribuição de frequências.

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Questão 18 no caderno Nível 1 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 1. Prova oficial ↗