Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2017

Resolução comentada

Seja x o número de votos apurados até o momento. Votos não válidos (brancos e nulos) são 20\% de x, então os válidos são 80\% de x, isto é, 0{,}8x.

Ana tem 60\% dos válidos: 0{,}6\cdot 0{,}8x = 0{,}48x. Beto tem 0{,}4\cdot 0{,}8x = 0{,}32x.

Ana tem certeza de ter pelo menos a metade dos votos válidos no final. Isso só acontece se, mesmo que todos os votos restantes fossem válidos e fossem para Beto, Ana ainda ficasse com pelo menos metade. Ou seja, o caso-limite é o empate.

Restam 1450 - x votos. No pior caso, todos vão para Beto, que ficaria com 0{,}32x + (1450 - x). Ana ficaria com 0{,}48x, e para ela ter ao menos metade basta que:

1. 0{,}48x \ge 0{,}32x + 1450 - x
2. 0{,}48x - 0{,}32x + x \ge 1450
3. 1{,}16x \ge 1450
4. x \ge 1250

A certeza surge no primeiro momento em que isso vale, ou seja, quando x = 1250 (nesse instante Ana, no pior caso, empata com Beto e tem exatamente a metade).

Conferindo: 0{,}48\cdot 1250 = 600 votos de Ana; Beto tem 0{,}32\cdot1250 = 400; restam 200 votos, e 400+200 = 600. Empate, ou seja, Ana tem pelo menos a metade.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor menor que 1250: nele Ana ainda poderia perder no pior caso, então não haveria certeza.
• BTambém abaixo de 1250, não garante que Ana tenha ao menos a metade dos válidos.
• CAbaixo de 1250; o pior caso (todos os restantes válidos para Beto) ainda daria vitória a Beto.
• ESatisfaz a desigualdade, mas não é o momento em que a certeza surge, que é o limite x=1250.

Assuntos: Porcentagem, Inequações e desigualdades.

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