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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura vemos um quadrado dentro de outro, determinando uma região cinza. A área (em \text{cm}^2) e o perímetro (em \text{cm}) dessa região são numericamente iguais, ou seja, o valor numérico da soma dos perímetros desses quadrados é igual ao valor numérico da diferença entre suas áreas. Qual é a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados?

Quadrado cinza com um quadrado menor branco e inclinado no seu interior

  1. A
    1\text{ cm}
  2. B
    4\text{ cm}
  3. C
    6\text{ cm}
  4. D
    8\text{ cm}
  5. E
    10\text{ cm}
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Chame de a o lado do quadrado maior e de b o lado do menor.

O enunciado diz que a área da região cinza e o perímetro dela são numericamente iguais, e explica o que isso significa: a soma dos perímetros dos dois quadrados tem o mesmo valor numérico que a diferença entre as áreas.

  1. Soma dos perímetros: 4a + 4b = 4(a+b).
  2. Diferença das áreas: a^2 - b^2.
  3. Igualando: 4(a+b) = a^2 - b^2.

O lado direito é uma diferença de quadrados, que se fatora como a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). Então:

4(a+b) = (a-b)(a+b)

Como a+b > 0, podemos dividir os dois lados por (a+b):

a - b = 4

A diferença entre os lados dos quadrados é 4\ \text{cm}.

Observe que não é preciso descobrir a e b separadamente: o fator a+b se cancela.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão há base no cálculo; a-b=1 não satisfaz 4(a+b)=(a-b)(a+b).
  • CValor sem relação com a equação; o cancelamento de a+b dá 4, não 6.
  • DProvavelmente dobra o resultado por engano; a-b=8 não satisfaz a igualdade.
  • EValor sem justificativa; a equação resulta em a-b=4.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 13 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗