Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

Na figura, dois vértices do hexágono regular maior coincidem com dois vértices do hexágono regular menor. O hexágono menor tem área igual a 10\ \text{cm}^2. Qual é a área do hexágono maior?

Dois hexágonos regulares, um menor à esquerda e um maior à direita, com seus respectivos centros indicados por pontos. Um dos lados do hexágono maior coincide com a diagonal que liga dois vértices não consecutivos do hexágono menor, deixando um dos vértices do hexágono menor dentro da região do hexágono maior.

A
20\ \text{cm}^2
B
30\ \text{cm}^2
C
35\ \text{cm}^2
D
36\ \text{cm}^2
E
40\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura, dois vértices do hexágono regular maior coincidem com dois vértices do hexágono regular menor. O hexágono menor tem área igual a 10\ \text{cm}^2. Qual é a área do hexágono maior?

Dois hexágonos regulares, um menor à esquerda e um maior à direita, com seus respectivos centros indicados por pontos. Um dos lados do hexágono maior coincide com a diagonal que liga dois vértices não consecutivos do hexágono menor, deixando um dos vértices do hexágono menor dentro da região do hexágono maior.

A
20\ \text{cm}^2
B
30\ \text{cm}^2
C
35\ \text{cm}^2
D
36\ \text{cm}^2
E
40\ \text{cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Primeiro decompomos o hexágono menor em seis triângulos equiláteros e vemos que a região de sobreposição tem área igual a duas metades de um desses triângulos equiláteros, ou seja, um triângulo equilátero inteiro, com área medindo, portanto, 10/6. Veja a figura ao lado.

[Figura: dois hexágonos regulares sobrepostos, com o menor dividido por linhas vermelhas a partir do centro, mostrando que a região de sobreposição equivale a um triângulo equilátero.]

A seguir, dividimos o hexágono maior também em seis triângulos equiláteros e cada um desses triângulos em outros três menores, todos congruentes ao triângulo de sobreposição. O hexágono maior fica decomposto em 18 triângulos congruentes ao triângulo de sobreposição e, portanto, sua área é 18 \times (10/6) = 30\text{ cm}^2.

[Figura: os dois hexágonos sobrepostos, com o hexágono maior dividido em 18 triângulos por linhas vermelhas.]

[Figura: metade superior do desenho com os lados dos hexágonos indicados por a e b, destacando um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos \frac{a}{2} e \frac{b}{2}.]

Outra solução: Vamos representar as medidas dos lados dos hexágonos, em centímetros, por a e b, conforme a figura ao lado, obtida a partir da figura do enunciado. Observemos o triângulo retângulo com lados medindo a, \frac{a}{2} e \frac{b}{2} centímetros. Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos que b^2 = 3a^2.

Por outro lado, sabemos que os dois hexágonos são semelhantes, pois ambos são regulares. Consequentemente, a razão entre as suas áreas é igual ao quadrado da razão entre os respectivos lados. Denotemos a área do hexágono maior, medida em centímetros quadrados, por S. Assim,

\frac{S}{10} = \left(\frac{b}{a}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2} = \frac{3a^2}{a^2} = 3\text{ . Consequentemente, } S = 30\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

Pela figura, um lado do hexágono maior coincide com a diagonal curta do hexágono menor, aquela que liga dois vértices separados por um vértice. Essa diagonal tem a forma \ell\sqrt{3}, em que \ell é o lado do hexágono menor.

Para ver isso, olhe o triângulo formado por dois lados consecutivos e essa diagonal. Ele é isósceles, com lados \ell e \ell e ângulo de 120^\circ entre eles. Pela lei dos cossenos:

d^2=\ell^2+\ell^2-2\ell^2\cos 120^\circ=3\ell^2

Logo d=\ell\sqrt{3}, e esse d é o lado L do hexágono maior.

A razão entre os lados é \dfrac{L}{\ell}=\sqrt{3}.

A razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança:

\frac{A_{\text{maior}}}{A_{\text{menor}}}=(\sqrt{3})^2=3

Portanto:

A_{\text{maior}}=3\cdot 10=30\ \text{cm}^2

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe que a área dobra, sem relacionar o lado maior com a diagonal \ell\sqrt{3}.
CValor sem base na razão de semelhança \sqrt{3} ao quadrado.
DValor sem justificativa; não corresponde ao fator 3 das áreas.
EUsaria fator 4, ou seja, lado maior igual ao dobro do menor, o que não ocorre.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 12 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗