Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2017

Question

De quantas maneiras diferentes é possível pintar de preto algumas casas do quadriculado abaixo de modo que, em cada linha e em cada coluna, fiquem pintadas de preto exatamente três casas?

Quadriculado de quatro colunas

A
4
B
6
C
16
D
24
E
32

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Permutações

De quantas maneiras diferentes é possível pintar de preto algumas casas do quadriculado abaixo de modo que, em cada linha e em cada coluna, fiquem pintadas de preto exatamente três casas?

Quadriculado de quatro colunas

A
4
B
6
C
16
D
24
E
32

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como em cada linha e em cada coluna devem aparecer exatamente três casas pintadas, podemos pensar nas casas que ficarão vazias. Devemos escolher as casas vazias de modo que em cada linha e em cada coluna apareça exatamente uma casa vazia. Na primeira linha podemos escolher qualquer uma das casas para deixar vazia; na segunda, há apenas três escolhas, na terceira linha, duas escolhas e, finalmente, na última linha, apenas uma escolha. Pelo Princípio Multiplicativo da Contagem, há 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 maneiras de escolher as casas vazias com exatamente uma delas em cada linha e em cada coluna. Escolhidas as casas vazias, é só pintar as demais. Conclusão: há 24 maneiras de pintar as casas de modo que em cada linha e em cada coluna apareçam exatamente três casas pintadas de preto.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

A figura mostra um quadriculado de 4 colunas, cortado na parte de baixo. O original da OBMEP 2017 é um quadriculado 4\times 4, e é com ele que resolvemos.

A ideia é olhar para as casas que ficam brancas. Em cada linha com 4 casas, exatamente 3 pretas significa exatamente 1 branca. O mesmo vale para cada coluna.

Em cada linha há exatamente uma casa branca.
Em cada coluna há exatamente uma casa branca.
Então as casas brancas formam uma escolha de uma casa por linha, sem repetir coluna.

Contar as pinturas é o mesmo que contar essas escolhas:

a linha 1 pode ter a branca em qualquer uma das 4 colunas;
a linha 2 pode usar qualquer uma das 3 colunas restantes;
a linha 3 pode usar qualquer uma das 2 colunas restantes;
a linha 4 fica com a última coluna, ou seja, 1 possibilidade.

Total:

4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24

Cada posição das brancas dá uma única pintura, pois todo o resto fica preto.

Alternativa D.

Pegadinha: A figura aparece cortada, com só 4 colunas visíveis e menos linhas; é preciso perceber que o quadriculado é 4\times4 e que pensar nas casas brancas simplifica o problema.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só as escolhas da primeira linha (4), sem considerar as demais.
BCalcula 3! ou \binom{4}{2}, como se o quadriculado fosse 3\times3 ou só duas casas fossem escolhidas.
CCalcula 4^2 ou 2^4, escolhendo colunas livremente sem respeitar a restrição de uma branca por coluna.
ECalcula 2^5, sem relação com a contagem de permutações.

Assunto: Permutações.

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Questão 11 no caderno Nível 2 da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗