Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Cada dobra é uma reflexão em relação à linha da dobra. Quando a folha é aberta, cada furo aparece refletido nas duas linhas de dobra. Como as duas dobras são perpendiculares e passam pelo centro, a folha tem 4 camadas no ponto do furo. Assim, o furo gera 4 furos.

Vamos localizar esses furos:

1. Na Figura 3, o furo está bem perto do vértice de baixo, que fica sobre a primeira dobra (a linha inclinada, que vai do alto à esquerda até a base à direita). Então o furo original está perto dessa linha e perto da borda inferior.
2. Refletindo na primeira dobra, surge um segundo furo bem próximo do primeiro, do outro lado da linha. Isso forma um par de furos juntos, perto da borda inferior, no lado direito.
3. Refletir nas duas dobras ao mesmo tempo equivale a girar 180^\circ em torno do centro. Esse giro leva o par de baixo para o lado oposto, perto do alto à esquerda, onde a primeira dobra encontra a borda superior. Isso dá outro par de furos juntos.

Resultado: dois furos juntos no canto superior esquerdo e dois furos juntos no canto inferior direito, ao longo da direção da primeira dobra. Nenhuma outra alternativa tem esses dois pares nessas posições.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BOs pares de furos ficam do lado direito e embaixo, mas o par oposto deveria estar no alto à esquerda, simétrico pelo centro.
• CMostra quatro furos isolados e espalhados, mas o furo está perto da dobra, então a reflexão deve formar pares próximos.
• DOs furos ficam em posições que não são simétricas em relação às duas dobras e ao centro.
• EOs furos estão alinhados na horizontal, o que não corresponde à reflexão nas dobras inclinadas.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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