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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Joãozinho fez duas dobras em uma folha de papel quadrada, ambas passando pelo centro da folha, como indicado na Figura 1 e na Figura 2. Depois ele fez um furo na folha dobrada, como indicado na Figura 3.

Figura 1: folha quadrada amarela com linha pontilhada inclinada passando pelo centro e uma seta indicando a primeira dobra; Figura 2: folha após a primeira dobra, com nova linha pontilhada perpendicular à dobra anterior e seta indicando a segunda dobra para baixo. Figura 3: folha dobrada com um furo circular próximo ao vértice inferior.

Qual das figuras abaixo representa a folha desdobrada?

  1. A
    Folha quadrada amarela com quatro furos circulares: dois próximos ao canto superior esquerdo e dois próximos ao canto inferior direito.
  2. B
    Folha quadrada amarela com quatro furos circulares: dois próximos ao canto superior direito e dois próximos ao canto inferior direito.
  3. C
    Folha quadrada amarela com quatro furos circulares distribuídos próximos a cada uma das quatro bordas.
  4. D
    Parte de folha quadrada amarela mostrando dois furos circulares alinhados verticalmente à direita e acima.
  5. E
    Parte de folha quadrada amarela mostrando dois furos circulares alinhados horizontalmente.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Cada furo na folha dobrada atravessa todas as camadas de papel. Ao desdobrar, o furo aparece uma vez em cada camada, e cada dobra funciona como um espelho: a posição de cada furo é a reflexão do furo anterior em relação à linha da dobra.

As duas dobras passam pelo centro e são perpendiculares entre si, então a folha fica com 4 camadas na região do furo. Resultam 4 furos.

  1. Desfazendo a segunda dobra, o furo é refletido na linha da segunda dobra, o que dá 2 furos.
  2. Desfazendo a primeira dobra, esses 2 furos são refletidos na linha da primeira dobra, o que dá 4 furos.

As duas retas de dobra são perpendiculares e se cruzam no centro. Refletir um ponto nas duas retas em sequência equivale a girá-lo 180^\circ em torno do centro. Assim, os 4 furos formam duas duplas simétricas em relação ao centro: o furo original, seu espelho pela segunda dobra, e os dois pontos opostos a eles em relação ao centro.

Na Figura 3 o furo está perto do vértice inferior, na parte da folha que ficou por cima. Os furos refletidos ficam todos próximos às dobras.

Os furos aparecem em pares simétricos em relação ao centro. Uma dupla fica perto de um canto e a outra dupla, oposta, perto do canto contrário. Isso descarta as figuras com 2 furos (D e E) e a figura C, cujos furos estão espalhados pelas quatro bordas.

A alternativa B não tem simetria central: seus pares ficam do mesmo lado da folha. Já na alternativa A os dois furos do canto superior esquerdo são o par simétrico, pelo centro, dos dois furos do canto inferior direito.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BOs quatro furos ficam do lado direito, sem a simetria central que as duas dobras perpendiculares pelo centro produzem.
  • CMostra um furo perto de cada borda, o que não resulta de refletir um único furo nas duas dobras.
  • DMostra só dois furos, mas duas dobras geram quatro camadas e portanto quatro furos.
  • ETambém mostra só dois furos, faltando os outros dois gerados pelas dobras.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Nível 2 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗