Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2016

Question

Três amigos fizeram uma aposta tentando adivinhar quantas sementes havia dentro de uma abóbora. Os palpites foram os seguintes: 234, 260 e 274. Quando abriram a abóbora e contaram as sementes, viram que um dos palpites estava errado por 17, outro por 31 e o outro por 9, para mais ou para menos. Na contagem das sementes, elas foram agrupadas em vários montinhos, cada um deles com 10, e um último montinho com menos de 10 sementes. Quantas sementes havia no último montinho?

Ilustração de uma abóbora rajada de verde e amarelo sobre uma mesa quadrada de madeira marrom.

A
1
B
3
C
5
D
7
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Três amigos fizeram uma aposta tentando adivinhar quantas sementes havia dentro de uma abóbora. Os palpites foram os seguintes: 234, 260 e 274. Quando abriram a abóbora e contaram as sementes, viram que um dos palpites estava errado por 17, outro por 31 e o outro por 9, para mais ou para menos. Na contagem das sementes, elas foram agrupadas em vários montinhos, cada um deles com 10, e um último montinho com menos de 10 sementes. Quantas sementes havia no último montinho?

Ilustração de uma abóbora rajada de verde e amarelo sobre uma mesa quadrada de madeira marrom.

A
1
B
3
C
5
D
7
E
9

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Solução oficial da OBMEP

Como um dos palpites foi 234, o número de sementes na abóbora deve ser um dos números:
234 - 31 = 203, 234 - 17 = 217, 234 - 9 = 225, 234 + 9 = 243, 234 + 17 = 251 ou 234 + 31 = 265.

Como um dos palpites foi 260, o número de sementes na abóbora deve ser um dos números:
260 - 31 = 229, 260 - 17 = 243, 260 - 9 = 251, 260 + 9 = 269, 260 + 17 = 277 ou 260 + 31 = 291.

Os únicos números que aparecem nas duas listas acima são 243 e 251. Se o número de sementes na abóbora fosse 243, o palpite 274 estaria errado por 31, que é coerente com o enunciado. Entretanto, se o número de sementes na abóbora fosse 251, o palpite 274 estaria errado por 23, o que não é coerente com o enunciado.

Logo, o número de sementes na abóbora é 243 = 10 \times 24 + 3 e, no último montinho, havia 3 sementes.

Outra solução: A diferença entre o maior e o menor palpite é 274 - 234 = 40. Como nenhum palpite está errado por mais de 40, concluímos que o número correto de sementes está entre 234 e 274. Desta forma, a soma dos erros, em valor absoluto, cometidos pelo menor palpite e pelo maior palpite deve ser igual a 40. Dentre os erros informados no enunciado, o único par cuja soma é 40 é (9, 31). Há, portanto, duas possibilidades:

1ª) o número de sementes é 234 + 9 = 243 ou

2ª) o número de sementes é 234 + 31 = 265.

No primeiro caso, os erros cometidos pelos palpites 234, 260 e 274 são, respectivamente, 9, 17 e 31, coerentes com o enunciado. No segundo caso, esses mesmos erros são, respectivamente, 31, 5 e 9, incoerentes com o enunciado. Portanto, o número de sementes é 243. Como 243 = 24 \times 10 + 3, no último montinho havia 3 sementes.

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Resolução comentada

O último montinho tem o algarismo das unidades do número de sementes, então precisamos descobrir o número N de sementes.

Cada palpite errou por 17, 31 ou 9 (cada erro usado uma vez), para mais ou para menos. Ou seja, N = \text{palpite} \pm \text{erro}.

A diferença entre os palpites ajuda a testar:

Palpites: 234, 260 e 274. As diferenças são 260-234=26, 274-260=14 e 274-234=40.
Os erros 17, 31 e 9 combinados dão: 17+9=26, 31-17=14, 31+9=40.
Assim, 234 e 260 ficam em lados opostos de N, com erros 17 e 9. O 274 e o 260 ficam do mesmo lado de N, com erros 31 e 17 (diferença 14). O 274 e o 234 ficam em lados opostos, com erros 31 e 9.
Tomando 260 com erro 17: o 274 tem erro 31, então N=274-31=243. Então 260-17=243. Conferindo o 234: 234+9=243. Tudo bate.

Portanto N=243. Agrupando em montinhos de 10, temos 24 montinhos cheios e sobram 3 sementes.

Verificação: erros |234-243|=9, |260-243|=17, |274-243|=31. Correto.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhum número que gere os erros 9, 17 e 31 simultaneamente.
CNúmero terminado em 5 não satisfaz os três erros dados.
DNúmero terminado em 7 não satisfaz os três erros dados.
ETerminado em 9, não gera os erros pedidos; confunde o erro 9 com o algarismo.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 10 no caderno Nível 1 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗