Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2016

Question

A metade e o dobro do número 26 são números naturais de dois algarismos. Quantos são os números naturais que possuem essas mesmas propriedades?

Ilustração de um menino desenhando em uma prancheta os cálculos de multiplicação de 26 por 2 (resultando em 52) e a divisão de 26 por 2 (resultando em 13, com resto 0).

A
15
B
18
C
20
D
22
E
25

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

A metade e o dobro do número 26 são números naturais de dois algarismos. Quantos são os números naturais que possuem essas mesmas propriedades?

Ilustração de um menino desenhando em uma prancheta os cálculos de multiplicação de 26 por 2 (resultando em 52) e a divisão de 26 por 2 (resultando em 13, com resto 0).

A
15
B
18
C
20
D
22
E
25

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Um número natural cujo dobro é um número de dois algarismos deve estar entre 5 e 49. Por outro lado, os números pares são aqueles cuja metade é um número natural, o que reduz a nossa escolha, dentre os números no intervalo acima, aos números pares que vão do 6 ao 48. Considerando agora que, além disso, queremos números cujas metades sejam números de dois algarismos, nossa escolha fica restrita aos números pares entre 20 e 48, incluindo o 20 e o 48. Podemos contá-los sem listá-los, observando, por exemplo, que

20 = 2 \times 10,\ 22 = 2 \times 11,\ 24 = 2 \times 12,\ \dots,\ 48 = 2 \times 24

e teremos 24 - 10 + 1 = 15, números que satisfazem as condições do enunciado.

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Resolução comentada

Queremos números naturais n tais que n, n/2 e 2n tenham dois algarismos, ou seja, estejam entre 10 e 99. Note que a metade precisa ser um número natural, então n deve ser par.

Metade com dois algarismos: \frac{n}{2} \geq 10, logo n \geq 20.
Dobro com dois algarismos: 2n \leq 99, logo n \leq 49 (pois 2\cdot 49 = 98 e 2\cdot 50 = 100 tem três algarismos).
O próprio n também tem dois algarismos, o que já vale em 20 \leq n \leq 49.
n deve ser par, para a metade ser natural.

Os pares de 20 a 49 são 20, 22, 24, \ldots, 48. Quantidade:

\frac{48-20}{2}+1 = 14+1 = 15

Conferindo os extremos: n=20 dá metade 10 e dobro 40; n=48 dá metade 24 e dobro 96. Ambos funcionam.

Há 15 números.

Alternativa A.

Pegadinha: Esquecer que a metade precisa ser natural, o que exige n par; contar todos os números de 20 a 49 daria 30.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão é obtido por nenhuma contagem correta do intervalo; ignora alguma das restrições.
CEsquece de limitar o dobro a 99 ou conta de modo impreciso os pares do intervalo.
DNão corresponde ao intervalo correto de pares entre 20 e 48.
EConta todos os números de 20 a 44 sem exigir que sejam pares, ou erra o limite.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 8 no caderno Nível 1 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗