Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Primeiro, reescrevemos a fração para ver quando ela é inteira:

Para o resultado ser inteiro, n-8 precisa ser divisor de 28. Além disso, o resultado deve ser natural (maior ou igual a 0) e n deve ser natural.

Divisores de 28: \pm1,\pm2,\pm4,\pm7,\pm14,\pm28.

1. Se n-8>0, a fração é positiva e o resultado é natural. Divisores positivos: 1, 2, 4, 7, 14, 28, que dão n=9,10,12,15,22,36. São 6 valores.
2. Se n-8<0, precisamos de 5+\frac{28}{n-8}\ge 0, ou seja, \frac{28}{n-8}\ge -5. Testamos:

• n-8=-1: 5-28=-23, não serve.
• n-8=-2: 5-14=-9, não serve.
• n-8=-4: 5-7=-2, não serve.
• n-8=-7: 5-4=1, serve, com n=1.
• n-8=-14: 5-2=3, mas n=-6 não é natural.
• n-8=-28: n=-20, não é natural.

3. n=8 zera o denominador, então não vale.

Verificação de n=1: \frac{5-12}{1-8}=\frac{-7}{-7}=1, natural.

Total: 6+1=7 valores de n.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa só divisores positivos de 28 e esquece o caso n=1, em que numerador e denominador são negativos e a fração vale 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta menos valores do que os existentes; não chega nem aos 6 divisores positivos mais o caso n=1.
• BTambém fica abaixo do total correto de valores de n.
• CConsidera só os divisores positivos de 28 e esquece n=1, em que o denominador é negativo e a fração dá 1.
• EInclui um valor de n que não é natural (como n=-6) ou que dá resultado negativo.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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