Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2016

Question

Abaixo temos uma sequência de figuras formadas por quadradinhos de 1\text{ cm} de lado. Cada figura da sequência, a partir da segunda, é formada acrescentando-se à figura anterior um retângulo igual ao da Figura 1, deslocando-o de um quadradinho, ora para cima, ora para baixo, como mostra a ilustração. Qual é o perímetro da figura com 1\,000 quadradinhos?

Sequência de figuras formadas por colunas de quadradinhos: Figura 1 com uma coluna de 10 quadradinhos; Figura 2 com 2 colunas, a segunda deslocada um quadradinho para cima; Figura 3 com 3 colunas, a terceira deslocada um quadradinho para baixo; Figura 4 com 4 colunas com deslocamentos alternados para cima e para baixo; seguidas de reticências.

A
220\text{ cm}
B
380\text{ cm}
C
400\text{ cm}
D
414\text{ cm}
E
418\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Abaixo temos uma sequência de figuras formadas por quadradinhos de 1\text{ cm} de lado. Cada figura da sequência, a partir da segunda, é formada acrescentando-se à figura anterior um retângulo igual ao da Figura 1, deslocando-o de um quadradinho, ora para cima, ora para baixo, como mostra a ilustração. Qual é o perímetro da figura com 1\,000 quadradinhos?

Sequência de figuras formadas por colunas de quadradinhos: Figura 1 com uma coluna de 10 quadradinhos; Figura 2 com 2 colunas, a segunda deslocada um quadradinho para cima; Figura 3 com 3 colunas, a terceira deslocada um quadradinho para baixo; Figura 4 com 4 colunas com deslocamentos alternados para cima e para baixo; seguidas de reticências.

A
220\text{ cm}
B
380\text{ cm}
C
400\text{ cm}
D
414\text{ cm}
E
418\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução 1: Para construir uma figura a partir da anterior, na sequência, basta acrescentar uma coluna de 10 quadradinhos. A cada vez que isto é feito, são escondidos 9 lados dos quadradinhos da figura anterior e 9 lados da coluna que estamos adicionando. Como cada coluna é igual à Figura 1, seu perímetro é 22\text{ cm} e, como desaparecem 9 + 9 = 18 lados de quadrinhos, o aumento do perímetro de uma figura em relação à anterior é de 22 - 18 = 4\text{ cm}.

Para obter a figura com 1000 quadradinhos a partir da primeira, precisamos juntar a ela 99 colunas, pois 1000 - 10 = 990 quadradinhos = 99 colunas de 10 quadradinhos. Logo, o perímetro da figura com 1000 quadradinhos é 22 + 99 \times 4 = 418\text{ cm}.

Solução 2 (necessita do conhecimento de progressões aritméticas): A Figura 1 tem perímetro igual a 22\text{ cm}; a Figura 2 tem perímetro 22 + 4 = 26\text{ cm}; a Figura 3 tem perímetro 22 + 8 = 30\text{ cm}, etc. A sequência dos perímetros 22, 26, 30, ... é uma progressão aritmética de razão 4 e primeiro termo 22.

A Figura 1 tem 10 quadradinhos, a Figura 2 tem 20 quadradinhos, a Figura 3 tem 30 quadradinhos, etc. Podemos concluir que a figura formada por 1000 quadradinhos é a figura de número 1000 \div 10 = 100 na sequência das figuras. Logo, seu perímetro é o perímetro do 100º termo da sequência de perímetros, igual a 22 + (100 - 1) \times 4 = 418\text{ cm}.

[Figura: sequência das quatro primeiras figuras formadas por quadradinhos em colunas verticais desencontradas: Figura 1 (10 quadradinhos, Perímetro: 22 cm); Figura 2 (20 quadradinhos, Perímetro: 26 cm); Figura 3 (30 quadradinhos, Perímetro: 30 cm); Figura 4 (40 quadradinhos, Perímetro: 34 cm), seguida de reticências.]

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada figura é formada por colunas de 10 quadradinhos (1 × 10). Com 1 000 quadradinhos, temos 1000 \div 10 = 100 colunas.\n\nVamos ver como o perímetro cresce. A Figura 1 tem perímetro 2\cdot(1+10)=22 cm.\n\nAo acrescentar uma coluna deslocada de 1 quadradinho, ela fica encostada na anterior por 9 lados. Os lados horizontais novos são 1 em cima e 1 embaixo, e os verticais novos são o lado direito da coluna (10).\n\nUma forma mais simples: o perímetro de uma figura assim é a soma de duas partes.\n\n1. Partes horizontais: cada coluna contribui com 1 cm em cima e 1 cm embaixo, pois os degraus não escondem topos nem bases. Com 100 colunas: 100 + 100 = 200 cm.\n2. Partes verticais: o contorno à esquerda tem 10 cm, o à direita tem 10 cm. Além disso, como cada coluna está deslocada 1 quadradinho da vizinha, aparece um trecho vertical de 1 cm em cada junção, em cima e embaixo: são 99 junções, com 2 trechos de 1 cm cada, ou seja, 198 cm. Somando as laterais: 10+10+198=218 cm.\n\nPerímetro total: 200 + 218 = 418 cm.\n\nConferindo com a Figura 2: 2 colunas dão 2+2=4 horizontais, e verticais 10+10+2=22, total 26. Contando no desenho: 2 de topo, 2 de base, laterais de 10 + 10 e 2 degraus de 1: 26. Confere.\n\nAlternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera só o perímetro do retângulo de 100 × 10 quadradinhos desconsiderando os degraus ou outro cálculo parcial, sem chegar ao contorno real.
BErra a contagem das colunas ou dos trechos horizontais, resultando em valor menor que o real.
CIgnora os trechos verticais de 1 cm nas junções entre as colunas (ou contabiliza só parte deles).
DConta os degraus de forma incompleta, esquecendo parte dos trechos verticais das junções.

Assuntos: Sequências e padrões, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗