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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Carlos tem um tabuleiro mágico 3 \times 3 com casas na cor branca ou amarela. Toda vez que ele toca uma casa, ela muda de cor, bem como as demais casas na mesma linha e na mesma coluna, como mostra a figura. A partir do tabuleiro inicial, Carlos tocou no tabuleiro nove vezes, uma vez em cada casa. Após ter feito isto, quantas casas ficaram amarelas?

Dois tabuleiros 3x3 conectados por uma seta indicando a mudança de estado. À esquerda, o "Tabuleiro inicial" possui casas amarelas nas posições (1, 3), (2, 1) e (2, 3), e uma mão aponta para a casa inferior esquerda (3, 1). À direita, após o toque, as casas da linha 3 e da coluna 1 invertem de cor: agora estão amarelas as casas (1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2) e (3, 3).

  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    3
  4. D
    6
  5. E
    9
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Cada toque muda a cor da casa tocada e de todas as outras da mesma linha e da mesma coluna. Então uma casa muda de cor sempre que o toque cai na sua linha ou na sua coluna (a própria casa entra nas duas contagens, mas muda só uma vez).

Contamos quantas casas mudam por casa (i,j) ao longo dos nove toques:

  1. Toques na linha i: 3 toques (um em cada casa da linha).
  2. Toques na coluna j: 3 toques (um em cada casa da coluna).
  3. A casa (i,j) está nas duas contagens, então o total de toques que a afetam é 3+3-1=5.

Todas as casas mudam de cor 5 vezes, que é um número ímpar. Cinco mudanças equivalem a uma só: toda casa termina com a cor oposta à inicial.

No tabuleiro inicial, as casas amarelas são (1,3), (2,1) e (2,3), ou seja, 3 amarelas e 6 brancas. Ao final, as 6 que eram brancas ficam amarelas e as 3 amarelas ficam brancas.

Logo, ficam 6 casas amarelas.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem acha que o número de amarelas se mantém; como todas as casas mudam 5 vezes (ímpar), todas se invertem.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe que todas as casas voltam ao branco, sem contar que as brancas iniciais também mudam.
  • BNão corresponde a nenhuma contagem correta das mudanças de cor.
  • CConta as 3 amarelas iniciais, esquecendo que elas se invertem e que as brancas viram amarelas.
  • ESupõe que todas as casas ficam amarelas, o que só ocorreria se todas tivessem começado brancas.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Nível 1 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗