Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2016

Question

Cada livro da biblioteca municipal de Quixajuba recebe um código formado por três das 26 letras do alfabeto. Eles são colocados em estantes em ordem alfabética: AAA, AAB, ..., AAZ, ABA, ABB, ..., ABZ, ..., AZA, AZB, ..., AZZ, BAA, BAB e assim por diante. O código do último livro é DAB. Quantos livros há na biblioteca?

Ilustração de uma estante vermelha com três prateleiras contendo livros coloridos com códigos de três letras empilhadas verticalmente em cada lombada: a primeira prateleira contém os livros de AAA a AAM; a segunda, de AAN a AAZ; e a terceira, de ABA a ABM.

A
676
B
1352
C
2016
D
2028
E
2030

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Cada livro da biblioteca municipal de Quixajuba recebe um código formado por três das 26 letras do alfabeto. Eles são colocados em estantes em ordem alfabética: AAA, AAB, ..., AAZ, ABA, ABB, ..., ABZ, ..., AZA, AZB, ..., AZZ, BAA, BAB e assim por diante. O código do último livro é DAB. Quantos livros há na biblioteca?

Ilustração de uma estante vermelha com três prateleiras contendo livros coloridos com códigos de três letras empilhadas verticalmente em cada lombada: a primeira prateleira contém os livros de AAA a AAM; a segunda, de AAN a AAZ; e a terceira, de ABA a ABM.

A
676
B
1352
C
2016
D
2028
E
2030

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja \alpha, \beta e \gamma letras quaisquer de A até Z. O número de códigos do tipo \text{AA}\alpha é 26. O número de códigos do tipo \text{A}\alpha\beta é 26 \times 26 = 676 e o número de códigos do tipo \alpha\beta\gamma é 26 \times 26 \times 26 = 17576. Se o último livro codificado na ordem AAA, AAB,..., ABA,... é DAB, então ele foi registrado depois de codificados todos livros dos códigos \text{A}\alpha\beta, \text{B}\alpha\beta, \text{C}\alpha\beta e mais o livro de código DAA. Logo, sua ordem numérica na classificação é 676 + 676 + 676 + 2 = 2030.

Solução mais detalhada: O livro recebeu o código DAB depois de todos os demais livros, que receberam os códigos que:

i) iniciam com a letra A, a saber:
AAA, AAB, até AAZ, num total de 26 livros;
ABA, ABB, até ABZ, 26 livros;
...
AZA, AZB,...,AZZ, 26 livros.
Até este ponto foram codificados 26 \times 26 = 676 livros.

ii) iniciam com a letra B, isto é, BAA, BAB,..., BAZ, BBA,..., BBZ,..,BZA, BZB,... BZZ, num total de 26 \times 26 = 676 livros.

iii) iniciam com a letra C, de forma análoga, num total de 676 livros.

iv) iniciam finalmente com a letra D, totalizando somente dois livros: DAA e DAB (o último).

Portanto, o número de livros da biblioteca é 3 \times 676 + 2 = 2030.

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Resolução comentada

Os códigos estão em ordem alfabética, como os números escritos em um sistema de base 26, em que cada letra é um "algarismo" (A = 0, B = 1, ..., Z = 25). Por isso, basta contar quantos códigos vêm até DAB.

Códigos que começam com A, B ou C: cada primeira letra admite 26 \times 26 = 676 combinações das outras duas letras. Então são 3 \times 676 = 2028 livros.
Códigos que começam com D e vão até DAB: DAA e DAB, ou seja, 2 livros.
Total: 2028 + 2 = 2030.

Conferindo pela base 26: DAB vale 3\cdot 676 + 0\cdot 26 + 1 = 2029. Como AAA vale 0, o livro DAB é o de posição 2029 contando a partir de zero, e portanto há 2029 + 1 = 2030 livros.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece de somar os dois livros que começam com D (DAA e DAB) aos 3\times 676.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta apenas os códigos que começam com uma letra (26^2).
BConta só os códigos das letras iniciais A e B (2\times 676).
CValor sem relação com a contagem correta; não corresponde a nenhum raciocínio válido.
DConta só os livros de A, B e C, esquecendo DAA e DAB.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 12 no caderno Nível 2 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗