Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2016

Question

Luciana marcou os números de 1 a 9 em uma circunferência, como na figura. A partir do número 1, ela começou a pular de 4 em 4. No primeiro pulo ela foi do 1 ao 5, no segundo, do 5 ao 9, no terceiro, do 9 ao 4 e assim por diante. Depois de pular 1000 vezes, em que número ela parou?

Circunferência com os números de 1 a 9 dispostos em sentido horário dentro de círculos azuis numerados

A
1
B
2
C
3
D
4
E
5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Luciana marcou os números de 1 a 9 em uma circunferência, como na figura. A partir do número 1, ela começou a pular de 4 em 4. No primeiro pulo ela foi do 1 ao 5, no segundo, do 5 ao 9, no terceiro, do 9 ao 4 e assim por diante. Depois de pular 1000 vezes, em que número ela parou?

Circunferência com os números de 1 a 9 dispostos em sentido horário dentro de círculos azuis numerados

A
1
B
2
C
3
D
4
E
5

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Resolução comentada

Os números 1 a 9 formam um ciclo de 9 posições. Cada pulo avança 4 posições, e ao passar do 9 voltamos ao 1. Isso é aritmética modular, módulo 9.

Se ela está na posição p, depois de um pulo estará em p+4, subtraindo 9 quando passar de 9. Conferindo com o enunciado: 1\to5\to9\to13-9=4, que bate com o texto.

Depois de n pulos, a posição é o resto de 1+4n na divisão por 9, usando 9 no lugar do resto 0.

Para n=1000, a posição é 1+4\cdot1000=4001.
Calculamos 4001 \div 9. Como 9\cdot444=3996, o resto é 4001-3996=5.
O resto 5 corresponde ao número 5.

Outro modo de conferir: depois de 9 pulos ela avança 36 posições, ou seja, 4 voltas completas, e volta ao 1. O padrão se repete a cada 9 pulos. Como 1000=9\cdot111+1, o resultado de 1000 pulos é igual ao de 1 pulo, que leva ao número 5.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ o ponto de partida; corresponderia a 999 pulos (múltiplo de 9), esquecendo o pulo que sobra.
BNão corresponde a nenhuma posição do ciclo após 1000 pulos; vem de erro no resto da divisão.
CResulta de errar a conta do resto de 4001 por 9.
DÉ o resultado do 3º pulo; confunde o período ou o resto da divisão.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Sequências e padrões.

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Questão 11 no caderno Nível 2 da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗