Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2016

Resolução comentada

Coloque a folha num plano com coordenadas, com lado 20 e vértices em (0,0) e (20,20).

1. 1ª dobra: o vértice (20,0) vai ao centro (10,10). A linha de dobra passa por (10,0) e (20,10). Aparece um triângulo cinza de vértices (10,0), (20,10) e (10,10).

2. 2ª dobra: a faixa vertical 0\le x\le 5 é dobrada para cima da folha. Ela fica em 5\le x\le 10, mostrando o lado cinza.

3. 3ª dobra: a linha tracejada é x+y=20. Ela passa por (10,10) e é perpendicular à hipotenusa do triângulo cinza. A parte abaixo dessa linha é virada por cima. Como é uma dobra, ela mostra a face de baixo do papel, que é cinza.

4. Forma final: é o pentágono (5,15), (15,5), (20,10), (20,20), (5,20). Pela fórmula de Gauss (o produto cruzado dos vértices), sua área é \dfrac{325}{2}=162{,}5\ \text{cm}^2.

5. Parte branca: a parte virada cobre tudo abaixo de y=15. A parte de cima da faixa (5\le x\le10, 15\le y\le20) é cinza. Só resta branco o retângulo 10\le x\le 20, 15\le y\le 20, de área 10\cdot 5=50\ \text{cm}^2.

6. Área cinza visível:
   

   162{,}5-50=112{,}5\ \text{cm}^2

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem calcula a área total da figura final e esquece de descontar o retângulo branco.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com as áreas da figura final; não corresponde a nenhuma combinação das partes cinza.
• BValor sem relação com as áreas da figura final; não corresponde a nenhuma combinação das partes cinza.
• DÉ a área total da figura final, sem descontar a parte branca de 50\ \text{cm}^2.
• EPassa da área total da figura final (162{,}5), então é impossível.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Transformações geométricas e localização.

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