Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

O trapézio ABCD foi dobrado ao longo do segmento CE, paralelo ao lado AD, como na figura. Os triângulos EFG e BFH são equiláteros, ambos com lados de 4\text{ cm} de comprimento. Qual é o perímetro do trapézio?

À esquerda, o trapézio ABCD com o segmento pontilhado CE ligando a base AB ao vértice C. À direita, a representação da dobra em torno de CE, mostrando os triângulos equiláteros EFG e BFH.

A
16 cm
B
18 cm
C
20 cm
D
24 cm
E
32 cm

Answer 1

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Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

O trapézio ABCD foi dobrado ao longo do segmento CE, paralelo ao lado AD, como na figura. Os triângulos EFG e BFH são equiláteros, ambos com lados de 4\text{ cm} de comprimento. Qual é o perímetro do trapézio?

À esquerda, o trapézio ABCD com o segmento pontilhado CE ligando a base AB ao vértice C. À direita, a representação da dobra em torno de CE, mostrando os triângulos equiláteros EFG e BFH.

A
16 cm
B
18 cm
C
20 cm
D
24 cm
E
32 cm

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Solução oficial da OBMEP

Primeiro observamos que AD = EC, por serem lados opostos do paralelogramo AECD. Após a dobradura o segmento AD ocupou a posição representada pelo segmento GH, logo os segmentos EC e HG são paralelos e tais que EC = AD = GH = GF + FH = 4 + 4 = 8\text{ cm}. Também valem as igualdades DC = AE = EG = 4\text{ cm}. Além disso, usando que os triângulos EFG e BFH são equiláteros, temos as seguintes relações:

[Figura: À esquerda, trapézio ABCD com um segmento tracejado ligando o ponto E na base inferior AB ao vértice C na base superior. À direita, a figura geométrica resultante após a dobradura, com os vértices C, H, B, F, G e E identificados e partes sombreadas em cinza.]

\angle CEB = \angle HFB = 60^\circ (correspondentes)
\angle EBC = \angle FBH = 60^\circ
\angle ECB = 180^\circ - \angle CEB - \angle EBC = 60^\circ

Assim, o triângulo EBC é equilátero de lado EB = EF + FB = 8\text{ cm}. O perímetro do trapézio é ABCD é, portanto, AE + EB + BC + DC + AD = 4 + 8 + 8 + 4 + 8 = 32\text{ cm}.

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Resolução comentada

Como CE \parallel AD e DC \parallel AE, o quadrilátero AECD é um paralelogramo. Logo AD = CE e DC = AE.

Depois da dobra, o lado AE cai sobre EG (o triângulo AED vira o paralelogramo dobrado, e o ponto A vai para G). Assim, EG = AE = 4 cm, que é o lado do triângulo equilátero EFG. Portanto DC = AE = 4 cm.

O triângulo BFH é equilátero de lado 4, então FB = 4 cm, BH = 4 cm. Já EF = 4 (lado de EFG). Logo:

EB = EF + FB = 4 + 4 = 8\ \text{cm}

O ângulo em B é 60^\circ e o ângulo em E do triângulo CEB é 60^\circ (pois CE \parallel AD, e o ângulo CEB é o ângulo EFG refletido). Então o triângulo CEB tem dois ângulos de 60^\circ, logo é equilátero de lado EB = 8 cm.

Daí: CE = CB = 8 cm, e AD = CE = 8 cm.

Cálculo dos lados do trapézio:

AB = AE + EB = 4 + 8 = 12 cm
BC = 8 cm
CD = 4 cm
DA = 8 cm

Perímetro: 12 + 8 + 4 + 8 = 32 cm.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa apenas lados de 4 cm, esquecendo que o triângulo CEB tem lado 8 cm.
BSubestima os lados CB e AD, que valem 8 cm e não 4 ou 5 cm.
CSoma pela metade os lados, ignorando que AB = 12 cm.
DConsidera AB = 8 cm, esquecendo de somar AE = 4 cm.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Questão 9 no caderno Nível 2 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗