Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Como os desenhos têm tamanhos diferentes, devemos comparar a área sombreada com a área do próprio quadrado. Chame essa área de A e o lado de l, de modo que A=l^2.

1. Primeiro quadrado: há dois triângulos cinzentos. Cada um tem base l/2 e altura l/2, pois a diagonal encontra o segmento vertical no centro. Portanto, a área sombreada é
   

   2\cdot\frac{(l/2)(l/2)}{2}=\frac{l^2}{4}=\frac A4.

2. Segundo quadrado: o losango formado pelos pontos médios tem diagonais de comprimento l, logo sua área é l^2/2=A/2. As diagonais do quadrado dividem esse losango em quatro partes iguais, das quais duas estão sombreadas. Assim, temos
   

   \frac24\cdot\frac A2=\frac A4.

3. Terceiro quadrado: fora do losango dos pontos médios, há quatro triângulos de área A/8 cada. Os segmentos desenhados dividem cada um deles em duas partes iguais, sendo uma cinzenta. Portanto, a área sombreada é
   

   4\cdot\frac{A}{16}=\frac A4.

4. Quarto quadrado: os dois triângulos cinzentos têm catetos l/2, exatamente como no primeiro desenho. Juntos, também ocupam A/4.

Logo, os quatro quadrados satisfazem a condição.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ADesconsidera que todos os quatro desenhos têm um quarto da área sombreado.
• BConta apenas um desenho, mas a condição vale para os quatro.
• CConta apenas dois desenhos, embora os outros dois também tenham área sombreada igual a um quarto.
• DExclui indevidamente um dos quadrados, pois todos satisfazem a condição.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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