Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Primeiro, o algarismo das unidades de um produto depende só dos algarismos das unidades dos fatores.

No produto 1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9 \times 11 \times 13 \times 15 \times 17 \times 19 aparecem o fator 5 e vários fatores ímpares. Todos os fatores são ímpares, então o produto é ímpar. Como ele também é múltiplo de 5, termina em 0 ou em 5. Sendo ímpar, termina em 5.

Agora a subtração. Chame o produto de P, com unidade 5. O número 2015 também termina em 5.

1. Unidade de P: 5.
2. Unidade de 2015: 5.
3. Como P é muito maior que 2015, o resultado é positivo e 5 - 5 = 0 na casa das unidades, sem precisar "pedir emprestado".

Portanto P - 2015 termina em 0.

Verificação: P = 654\,729\,075 e 654\,729\,075 - 2015 = 654\,727\,060, que termina em 0.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão há razão para a unidade ser 1; o produto termina em 5 e 5 − 5 = 0.
• CÉ a unidade do produto e de 2015, mas esquece que a subtração a anula.
• DSupõe um empréstimo na subtração que não existe, pois as unidades são iguais.
• EResulta de supor erradamente que o produto termina em 3 (ou outro valor) em vez de 5.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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