Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

A peça da Figura 1 foi montada juntando-se duas peças, sem sobreposição.

Figura 1: peça cinza formada por quadrados unitários em uma grade de 3 colunas por 4 linhas, ocupando todas as posições exceto as duas superiores da primeira coluna (ou melhor, ocupando na primeira coluna as linhas 1, 2 e 4 de cima para baixo, e todas as 4 posições da segunda e da terceira colunas, totalizando 9 quadrados).

Uma das peças utilizadas foi a da Figura 2.

Figura 2: peça cinza em formato de T deitado (pentaminó), formada por uma coluna vertical de 3 quadrados à esquerda e 1 quadrado conectado ao quadrado central à direita, totalizando 4 quadrados.

Qual foi a outra peça utilizada?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Transformações geométricas e localização

A peça da Figura 1 foi montada juntando-se duas peças, sem sobreposição.

Figura 1: peça cinza formada por quadrados unitários em uma grade de 3 colunas por 4 linhas, ocupando todas as posições exceto as duas superiores da primeira coluna (ou melhor, ocupando na primeira coluna as linhas 1, 2 e 4 de cima para baixo, e todas as 4 posições da segunda e da terceira colunas, totalizando 9 quadrados).

Uma das peças utilizadas foi a da Figura 2.

Figura 2: peça cinza em formato de T deitado (pentaminó), formada por uma coluna vertical de 3 quadrados à esquerda e 1 quadrado conectado ao quadrado central à direita, totalizando 4 quadrados.

Qual foi a outra peça utilizada?

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos simular a montagem da Figura 1, colocando a peça da Figura 2 sobre ela. Observe que, dentre as quatro posições possíveis para colocar a peça da Figura 2 sobre a Figura 1, mostradas na figura ao lado, apenas a última está de acordo com o enunciado. De fato, usando qualquer uma das outras três posições, a parte descoberta da Figura 1 ficará separada em duas ou mais regiões, sendo necessário, pelo menos, mais duas peças para cobri-la. Nesse caso, vemos que a peça complementar utilizada para formar a Figura 1 é a peça da alternativa A.

[Figura: Quatro representações da Figura 1 mostrando diferentes tentativas de sobrepor a peça da Figura 2 (em formato de T, pintada de azul). Nas três primeiras opções, a região não coberta fica dividida em duas ou mais partes separadas; na quarta e última opção, a peça azul ocupa a base, deixando uma única região branca contínua correspondente à peça da alternativa A.]

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Resolução comentada

Como as peças foram juntadas sem sobreposição, cada quadradinho da Figura 1 deve pertencer a exatamente uma delas. A figura completa tem 9 quadradinhos, e a Figura 2 tem 4. Portanto, a outra peça deve ter:

9-4=5\text{ quadradinhos}.

Isso já elimina a alternativa D, mas ainda precisamos conferir o formato.

Gire a peça da Figura 2 para que seus três quadradinhos alinhados fiquem na horizontal, com o quadradinho saliente acima do meio. Encaixe essa peça na base da Figura 1.

O encaixe fica assim, com T indicando a peça utilizada, R indicando o que resta e os pontos indicando espaços vazios:

\begin{array}{ccc} R&\cdot&\cdot\\ R&R&R\\ \cdot&T&R\\ T&T&T \end{array}

A peça restante tem uma fileira horizontal de três quadradinhos, mais um acima da extremidade esquerda e outro abaixo da extremidade direita. Esse é exatamente o formato da peça A, após uma rotação.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BO formato de U não corresponde aos cinco quadradinhos que restam após o encaixe.
CContém um bloco de quatro quadradinhos em disposição 2 por 2, ausente na peça restante.
DTem apenas quatro quadradinhos, mas a peça que falta deve ter cinco.
ETem um quadradinho ligado a três outros, configuração que não aparece na peça restante.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da OBMEP 2015

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