Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2015

Question

A peça da Figura 1 foi montada juntando-se duas peças, sem sobreposição.

Figura 1 mostrando uma peça poligonal cinza que pode ser vista numa malha quadriculada de 4 linhas por 3 colunas: na primeira linha (topo), apenas o quadrado da coluna da esquerda está preenchido; na segunda linha, todos os 3 quadrados estão preenchidos; na terceira linha, os 2 quadrados da direita estão preenchidos; na quarta linha (base), todos os 3 quadrados estão preenchidos.

Uma das peças utilizadas foi a da Figura 2.

Figura 2 mostrando uma peça poligonal cinza em formato de T deitado para a direita, composta por 4 quadrados: uma coluna vertical de 3 quadrados à esquerda e 1 quadrado adjacente ao quadrado central à direita.

Qual foi a outra peça utilizada?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2015

Nível 1 · Matemática: Transformações geométricas e localização

A peça da Figura 1 foi montada juntando-se duas peças, sem sobreposição.

Figura 1 mostrando uma peça poligonal cinza que pode ser vista numa malha quadriculada de 4 linhas por 3 colunas: na primeira linha (topo), apenas o quadrado da coluna da esquerda está preenchido; na segunda linha, todos os 3 quadrados estão preenchidos; na terceira linha, os 2 quadrados da direita estão preenchidos; na quarta linha (base), todos os 3 quadrados estão preenchidos.

Uma das peças utilizadas foi a da Figura 2.

Figura 2 mostrando uma peça poligonal cinza em formato de T deitado para a direita, composta por 4 quadrados: uma coluna vertical de 3 quadrados à esquerda e 1 quadrado adjacente ao quadrado central à direita.

Qual foi a outra peça utilizada?

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos simular a montagem da Figura 1, colocando a peça da Figura 2 sobre ela. Observe que, dentre as quatro posições possíveis para colocar a peça da Figura 2 sobre a Figura 1, mostradas na figura ao lado, apenas a última está de acordo com o enunciado. De fato, usando qualquer uma das outras três posições, a parte descoberta da Figura 1 ficará separada em duas ou mais regiões, sendo necessário, pelo menos, mais duas peças para cobri-la. Nesse caso, vemos que a peça complementar utilizada para formar a Figura 1 é a peça da alternativa A.

[Figura: Quatro representações da Figura 1 com a peça em forma de T (Figura 2), destacada em azul, posicionada sobre ela em quatro posições possíveis. Nas três primeiras opções, a parte branca não coberta é fragmentada em duas regiões desconexas; na quarta opção, a parte branca permanece em uma única região contígua correspondente à peça da alternativa A.]

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Resolução comentada

Primeiro, conte os quadrados da Figura 1 na malha de 4 linhas por 3 colunas: linha 1 tem 1, linha 2 tem 3, linha 3 tem 2 e linha 4 tem 3. Total: 1+3+2+3=9 quadrados.

A Figura 2 tem 4 quadrados, então a outra peça tem 9-4=5 quadrados.

Use coordenadas (linha, coluna), com a linha 1 no topo e a coluna 1 à esquerda. A Figura 1 ocupa: (1,1); (2,1), (2,2), (2,3); (3,2), (3,3); (4,1), (4,2), (4,3). Falta o canto (3,1), que é um buraco aberto para a esquerda.

A Figura 2 é um T deitado, com 3 quadrados em coluna e 1 à direita do central. Encaixe-a de modo que a coluna fique na coluna 1... mas (3,1) está vazio, então não serve. Tente a coluna 2, linhas 2 a 4: (2,2), (3,2), (4,2), com o quadrado à direita do central em (3,3). Isso cabe na Figura 1.

Sobram: (1,1), (2,1), (2,3), (4,1), (4,3). Esses cinco quadrados não são conexos, então essa posição não serve.

Tente a coluna 3, linhas 2 a 4, com o quadrado à esquerda do central em (3,2). Isso exigiria a peça virada para a esquerda, e a Figura 2 aponta para a direita. Também pode-se girá-la, mas vamos ver o que sobra: (1,1), (2,1), (2,2), (4,1), (4,2). Também não é conexo.

Use então a coluna 1 e o quadrado à direita... a coluna 1 precisaria de (3,1), que está vazio. Logo, a coluna do T fica na linha 2, na horizontal (T girado): (2,1), (2,2), (2,3) com o quadrado abaixo em (3,2). Sobram: (1,1), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), que não são conexos.

A outra opção é a linha 4: (4,1), (4,2), (4,3) com (3,2) acima. Sobram: (1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,3). Isso forma uma peça conexa: (1,1) e (2,1) em coluna, (2,1) a (2,3) em linha, e (3,3) embaixo. É um S/Z alongado, com uma coluna de 2 à esquerda no topo e uma de 2 à direita embaixo.

A alternativa A mostra uma peça de 5 quadrados em degrau com esse formato (2 em cima à direita, 3 no meio e 2 embaixo à esquerda, ou seu giro). Das opções, é a que combina com esse formato em S.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BÉ um C com 7 quadrados na malha 3×3 com buraco, formato que não sobra da Figura 1.
CTem formato de L largo, que não corresponde aos 5 quadrados restantes.
DTem só 4 quadrados, e a outra peça precisa de 5.
ETem formato diferente do S que sobra, com um braço lateral no meio.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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OBMEP 2015 · Questão 3 (Nível 2)Qual foi a outra peça utilizada?

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Questão 3 no caderno Nível 1 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗