Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

Na malha hexagonal, a casa central recebeu o número 0 e as casas vizinhas a ela receberam o número 1. Em seguida, as casas vizinhas às de número 1 receberam o número 2 e assim sucessivamente, como na figura. Quantas casas receberam o número 6?

Malha hexagonal formada por anéis concêntricos de hexágonos numerados: o hexágono central sombreado contém o número 0; a primeira camada contém 6 hexágonos com o número 1; a segunda camada contém 12 hexágonos com o número 2; e a terceira camada contém 18 hexágonos com o número 3.

A
32
B
36
C
42
D
48
E
54

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Na malha hexagonal, a casa central recebeu o número 0 e as casas vizinhas a ela receberam o número 1. Em seguida, as casas vizinhas às de número 1 receberam o número 2 e assim sucessivamente, como na figura. Quantas casas receberam o número 6?

Malha hexagonal formada por anéis concêntricos de hexágonos numerados: o hexágono central sombreado contém o número 0; a primeira camada contém 6 hexágonos com o número 1; a segunda camada contém 12 hexágonos com o número 2; e a terceira camada contém 18 hexágonos com o número 3.

A
32
B
36
C
42
D
48
E
54

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Solução oficial da OBMEP

Observemos os segmentos que unem os centros dos hexágonos de cada etapa, mostrados na figura ao lado. Percebemos que cada um desses segmentos, na etapa 1, une dois centros, na etapa 2, três centros, na etapa 3, quatro centros e assim sucessivamente, aumentando 1 centro por segmento, por etapa.

Como em cada etapa os segmentos que unem os centros formam um hexágono, temos o acréscimo de 6 pequenos hexágonos por etapa. Logo, 6 hexágonos recebem o número 1, 6+6=12 recebem o número 2, (6+6+6)=3\times 6=18 recebem o número 3 e, continuando o processo, concluímos que 6 \times 6 = 36 hexágonos recebem o número 6.

[Figura: Malha de hexágonos adjacentes com um hexágono central destacado com o número 0. Ao seu redor, a primeira camada de hexágonos contém o número 1, a segunda camada contém o número 2 e a terceira camada contém o número 3. Três hexágonos concêntricos em vermelho conectam os centros dos hexágonos pertencentes às camadas 1, 2 e 3, respectivamente.]

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Resolução comentada

Os números formam anéis hexagonais ao redor da casa central. Vamos contar quantas casas há em cada anel e achar o padrão.

A figura mostra:

Número 1: 6 casas.
Número 2: 12 casas.
Número 3: 18 casas.

A cada anel, o número de casas aumenta de 6. Isso acontece porque o anel n é um hexágono com n+1 casas em cada lado. Os 6 vértices são compartilhados por dois lados, então o total é 6(n+1)-6=6n.

Para n=6:

6\cdot 6 = 36

Conferindo pelo padrão: anel 4 tem 24 casas, anel 5 tem 30 e anel 6 tem 36.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde ao padrão 6n; 32 não é múltiplo de 6.
CÉ 6\cdot 7, ou seja, o número de casas do anel 7.
DÉ 6\cdot 8, o anel 8, contando anéis demais.
EÉ 6\cdot 9, o anel 9, muito além do pedido.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗