Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Na figura, ABCD é um trapézio inscrito numa circunferência. A base maior do trapézio mede 16 cm, a base menor 10 cm e a altura 9 cm. Qual é a medida, em centímetros, do raio da circunferência?

Trapézio cinza ABCD inscrito em uma circunferência, com a base maior AB na parte inferior, base menor CD na parte superior e o ponto central da circunferência indicado no interior do trapézio.

A
\dfrac{7}{3}
B
\dfrac{25}{3}
C
\dfrac{35}{3}
D
\dfrac{40}{3}
E
\dfrac{50}{3}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Na figura, ABCD é um trapézio inscrito numa circunferência. A base maior do trapézio mede 16 cm, a base menor 10 cm e a altura 9 cm. Qual é a medida, em centímetros, do raio da circunferência?

Trapézio cinza ABCD inscrito em uma circunferência, com a base maior AB na parte inferior, base menor CD na parte superior e o ponto central da circunferência indicado no interior do trapézio.

A
\dfrac{7}{3}
B
\dfrac{25}{3}
C
\dfrac{35}{3}
D
\dfrac{40}{3}
E
\dfrac{50}{3}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja O o centro da circunferência, OM a altura do triângulo OAB relativa à base AB e ON a altura do triângulo OCD relativa à base CD.

Como AB é paralelo à CD, segue que os pontos M, O e N estão alinhados e que MN é a altura do trapézio.

[Figura: Circunferência com centro O circunscrevendo um trapézio isósceles ABCD, de bases horizontais AB (inferior) e CD (superior). A altura MN passa pelo centro O, onde M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de CD. Os triângulos OAB e OCD estão sombreados em rosa, e os triângulos laterais OAD e OBC, em cinza.]

Vamos denotar OA = OB = OC = OD = r, OM = x e ON = y. A altura do trapézio é, assim, igual a x + y = 9\text{ cm}. Como o triângulo OAB é isósceles com base AB = 16\text{ cm}, segue, pelo Teorema de Pitágoras, que

r^2 = 8^2 + x^2

De forma análoga, como o triângulo OCD é isósceles com base CD = 10\text{ cm}, segue, pelo Teorema de Pitágoras, que

r^2 = 5^2 + y^2

Subtraindo a segunda equação da primeira, e usando que y^2 - x^2 = (y + x)(y - x), temos

(y + x)(y - x) = 8^2 - 5^2 = 39

Embora o desenho indique que o centro da circunferência esteja dentro do trapézio, este fato pode ser confirmado pois se centro da circunferência estivesse no exterior ao trapézio, teríamos as seguintes equações:

\begin{cases} x - y = 9 \\ y + x = \dfrac{39}{9} = \dfrac{13}{3} \end{cases}

que resultariam em x = \dfrac{20}{3} e y = -\dfrac{7}{3}, o que é impossível já que y > 0. Assim, o centro da circunferência é interior ao trapézio e temos as seguintes equações:

\begin{cases} x + y = 9 \\ y - x = \dfrac{39}{9} = \dfrac{13}{3} \end{cases}

que resultam em x = \dfrac{7}{3} e y = \dfrac{20}{3}.

Pelo Teorema de Pitágoras, segue que

r^2 = 8^2 + \left(\frac{7}{3}\right)^2 = 64 + \frac{49}{9} = \frac{576 + 49}{9} = \frac{625}{9}

e, portanto,

r = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3}

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Resolução comentada

Um trapézio inscrito numa circunferência é isósceles, então o centro O fica na mediatriz comum das duas bases, que é a reta vertical pelo ponto médio de cada uma. Na figura, o centro está dentro do trapézio.

Colocamos o ponto médio de AB na origem. Assim A=(-8,0), B=(8,0), C=(5,9), D=(-5,9) e O=(0,y).

Como O é equidistante dos vértices, a distância OA é igual à distância OC, e ambas valem o raio R:

OA^2 = 8^2 + y^2 = 64 + y^2
OC^2 = 5^2 + (9-y)^2 = 25 + 81 - 18y + y^2 = 106 - 18y + y^2

Igualando:

64 + y^2 = 106 - 18y + y^2

18y = 42 \Rightarrow y = \frac{7}{3}

O valor y=\frac{7}{3} está entre 0 e 9, então o centro realmente está dentro do trapézio, como na figura.

Calculamos o raio:

R^2 = 64 + \frac{49}{9} = \frac{576+49}{9} = \frac{625}{9}

R = \frac{25}{3}\ \text{cm}

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana porque 7/3 aparece no meio da conta (a posição do centro), e a E é o diâmetro.

Por que as outras alternativas estão erradas

A7/3 é só a distância do centro à base maior, não o raio.
CNão corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo; é valor sem base na equação do raio.
DNão resulta de R^2=625/9; valor sem fundamento.
ESeria o diâmetro (2R=50/3), não o raio.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗