Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

João colocou 100 moedas iguais em um pote e pediu a seus filhos, de idades distintas, que cada um deles colocasse no pote uma moeda para cada irmão mais velho e retirasse do pote duas moedas para cada irmão mais novo. Quando todos os filhos terminaram de fazer isso, restaram no pote 22 moedas. Quantos são os filhos de João?

A
5
B
7
C
10
D
13
E
15

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Equação do 2º grau

João colocou 100 moedas iguais em um pote e pediu a seus filhos, de idades distintas, que cada um deles colocasse no pote uma moeda para cada irmão mais velho e retirasse do pote duas moedas para cada irmão mais novo. Quando todos os filhos terminaram de fazer isso, restaram no pote 22 moedas. Quantos são os filhos de João?

A
5
B
7
C
10
D
13
E
15

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Considerando cada par de irmãos, o mais velho retira duas moedas do pote pelo irmão mais novo, enquanto o mais novo coloca uma moeda no pote pelo mais velho. Logo, para cada par de irmãos, uma moeda é retirada do pote. Se forem n os filhos de João, há \frac{n(n-1)}{2} pares de irmãos e, portanto, este é o número total de moedas retiradas do pote no processo. Logo, temos \frac{n(n-1)}{2} = 100 - 22 = 78. Daí resulta n^2 - n - 156 = 0. Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos n = 13 ou n = -12. Logo, João tem 13 filhos.

Outra solução: Na tabela, numeramos os irmãos de 1 a n, com idades crescentes:

	irmão 1	irmão 2	3	...	irmão n-2	irmão n-1	irmão n
moedas que coloca	n-1	n-2	n-3		2	1	0
moedas que tira	2x0	2x1	2x2		2x(n-3)	2x(n-2)	2x(n-1)

A segunda linha é o dobro da primeira, portanto o que sobra de moedas é igual à soma 1 + 2 + \dots + n - 1 = \frac{n(n-1)}{2} e, portanto, temos \frac{n(n-1)}{2} = 100 - 22 = 78. Daí resulta n^2 - n - 156 = 0. Resolvendo, como antes, obtemos n = 13 ou n = -12. Logo, João tem 13 filhos.

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Resolução comentada

Com n filhos de idades distintas, ordene-os do mais velho ao mais novo. Cada filho age de acordo com quantos irmãos são mais velhos e quantos são mais novos que ele.

O filho na posição k (contando do mais velho) tem k-1 irmãos mais velhos e n-k irmãos mais novos. Ele coloca k-1 moedas e retira 2(n-k).

Somando para todos os filhos:

Moedas colocadas: 0+1+2+\dots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}.
Moedas retiradas: 2\cdot\big[(n-1)+(n-2)+\dots+0\big]=n(n-1).

Saldo final: 100+\dfrac{n(n-1)}{2}-n(n-1)=100-\dfrac{n(n-1)}{2}.

Como restaram 22 moedas:

100-\frac{n(n-1)}{2}=22 \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}=78 \Rightarrow n(n-1)=156

Como 13\cdot 12=156, temos n=13.

Conferindo: colocam 78 e retiram 156, então 100+78-156=22. ✓

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom 5 filhos o saldo seria 100-10=90, não 22.
BCom 7 filhos o saldo seria 100-21=79, não 22.
CCom 10 filhos o saldo seria 100-45=55, não 22.
ECom 15 filhos o saldo seria 100-105=-5, impossível.

Assunto: Equação do 2º grau.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗