Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Três amigas foram a uma livraria com seus namorados. Coincidentemente, cada pessoa pagou, por livro, um preço em reais igual à quantidade de livros que comprou. Além disso, cada mulher gastou 32 reais a mais que seu respectivo namorado. Ao final das compras, as mulheres compraram, ao todo, oito livros a mais que os homens. Quantos livros foram comprados no total?

Ilustração de jovens em uma livraria entre estantes e segurando livros

A
32
B
36
C
40
D
44
E
48

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Equação do 2º grau

Três amigas foram a uma livraria com seus namorados. Coincidentemente, cada pessoa pagou, por livro, um preço em reais igual à quantidade de livros que comprou. Além disso, cada mulher gastou 32 reais a mais que seu respectivo namorado. Ao final das compras, as mulheres compraram, ao todo, oito livros a mais que os homens. Quantos livros foram comprados no total?

Ilustração de jovens em uma livraria entre estantes e segurando livros

A
32
B
36
C
40
D
44
E
48

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os dados do problema estão organizados na tabela abaixo:

Pessoa	Quantidade de livros que comprou	Preço por cada livro	Quanto a pessoa gastou
Amiga 1	a_1	a_1	a_1^2
Amiga 2	a_2	a_2	a_2^2
Amiga 3	a_3	a_3	a_3^2
Namorado da amiga 1	n_1	n_1	n_1^2 = a_1^2 - 32
Namorado da amiga 2	n_2	n_2	n_2^2 = a_2^2 - 32
Namorado da amiga 3	n_3	n_3	n_3^2 = a_3^2 - 32

Como n_i^2 = a_i^2 - 32, i = 1, 2, 3, então (a_i - n_i) \times (a_i + n_i) = 32 = 2^5. Cada uma das parcelas do membro direito da última igualdade é um número inteiro positivo e, portanto, há apenas duas soluções (a_i = 9, n_i = 7) e (a_i = 6, n_i = 2), devido à decomposição única em fatores primos. Na primeira solução, a mulher comprou dois livros a mais do que o seu namorado e na segunda ela comprou 4 livros a mais do que o namorado. Como as mulheres compraram oito livros a mais do que os homens, só resta a possibilidade de um casal ter comprado 6 + 2 = 8 livros e os outros dois casais terem comprado, cada um deles 9 + 7 = 16 livros. Deste modo a quantidade total de livros comprada foi 8 + 16 + 16 = 40.

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Resolução comentada

Se uma pessoa comprou n livros pagando n reais por livro, ela gastou n\cdot n = n^2 reais.

Seja m a quantidade de livros da mulher e h a do namorado. Então:

m^2 = h^2 + 32 \Rightarrow (m-h)(m+h)=32

Como m e h são inteiros, m-h e m+h têm a mesma paridade. Como o produto é par, os dois são pares. As fatorações possíveis de 32 em dois fatores pares são:

2\cdot 16: m=9, h=7, diferença de livros =2.
4\cdot 8: m=6, h=2, diferença de livros =4.

Os fatores são m-h (menor) e m+h (maior); a diferença m-h é o número de livros a mais de cada mulher.

São três casais, e a diferença total deve ser 8. Cada casal tem diferença 2 ou 4 (o caso h=0 seria 1\cdot32, que não serve por paridade). Precisamos de três diferenças somando 8:

2+2+4=8 ✓.
4+4+4=12 e 2+2+2=6 não servem.

Logo há dois casais do tipo 1 e um do tipo 2.

Total de livros: cada casal do tipo 1 compra 9+7=16; o do tipo 2 compra 6+2=8.

2\cdot 16 + 8 = 40

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma combinação válida de casais com diferença total de 8 livros.
BNão corresponde à combinação 2+2+4; erro ao somar os livros dos casais.
DValor acima do total obtido com os casais (9,7), (9,7) e (6,2).
EValor muito alto, incompatível com as únicas fatorações possíveis de 32.

Assuntos: Equação do 2º grau, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗