Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2015

Question

Ana tem quatro cartões triangulares iguais, cujos lados, em centímetros, medem a, b e c, sendo a, b e c números naturais distintos. Se Ana unir dois dos cartões juntando seus lados maiores, formará um quadrilátero com perímetro de 26 cm, como na Figura 1. Entretanto, se ela unir os outros dois cartões juntando seus lados menores, formará um quadrilátero com perímetro de 30 cm, como na Figura 2. Qual é o perímetro de cada cartão triangular?

Figura 1 e Figura 2: à esquerda, dois triângulos unidos pelo lado maior comum; à direita, dois triângulos unidos pelo lado menor comum, formando um paralelogramo.

A
21 cm
B
22 cm
C
23 cm
D
24 cm
E
25 cm

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Ana tem quatro cartões triangulares iguais, cujos lados, em centímetros, medem a, b e c, sendo a, b e c números naturais distintos. Se Ana unir dois dos cartões juntando seus lados maiores, formará um quadrilátero com perímetro de 26 cm, como na Figura 1. Entretanto, se ela unir os outros dois cartões juntando seus lados menores, formará um quadrilátero com perímetro de 30 cm, como na Figura 2. Qual é o perímetro de cada cartão triangular?

Figura 1 e Figura 2: à esquerda, dois triângulos unidos pelo lado maior comum; à direita, dois triângulos unidos pelo lado menor comum, formando um paralelogramo.

A
21 cm
B
22 cm
C
23 cm
D
24 cm
E
25 cm

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Conforme o enunciado, se a for o lado maior e c o lado menor dos triângulos, temos que a > b > c > 0, 2a + 2b = 30 e que 2b + 2c = 26. Logo, a + b = 15 e b + c = 13. Assim, a + 13 - c = 15 e, portanto, a = c + 2. Como a > b > c > 0 são números naturais, segue que b = c + 1 e que a = c + 2 = b + 1. Substituindo a por b + 1 na equação a + b = 15, obtemos que b + 1 + b = 15, logo, b = 7. Consequentemente, a = 7 + 1 = 8 e c = 7 - 1 = 6. Finalmente, o perímetro do triângulo é a + b + c = 8 + 7 + 6 = 21\text{ cm}.

[Figura: Figura 1 e Figura 2 ilustrando a união de dois triângulos congruentes de lados a, b e c por um lado em comum.]

Observamos que, ao unir os cartões por um de seus lados iguais, Ana deve escolher a posição de cada cartão dentre duas posições possíveis. Logo, após escolher o lado comum dos cartões, Ana tem quatro possibilidades para uni-los, mas em todas as quatro escolhas o quadrilátero formado terá o mesmo perímetro. A figura abaixo, mostra as quatro possibilidades para o caso em que Ana escolheu o lado maior para unir os cartões. Nesse caso, o perímetro do quadrilátero é igual a 2b + 2c = 2(b + c).

[Figura: quatro quadriláteros formados pela junção de dois triângulos pelo lado comum maior, indicando as quatro combinações possíveis dos lados externos b e c.]

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Resolução comentada

Sejam a<b<c os lados do triângulo. Ao juntar dois triângulos iguais por um lado, esse lado fica no interior da figura e deixa de fazer parte do perímetro. O perímetro do quadrilátero é então a soma dos outros quatro lados.

Figura 1 (junção pelo lado maior c): sobram dois lados a e dois lados b.

2a+2b=26 \Rightarrow a+b=13

Figura 2 (junção pelo lado menor a): sobram dois lados b e dois lados c.

2b+2c=30 \Rightarrow b+c=15

Subtraindo as equações: c-a=2, ou seja, c=a+2.

Como a<b<c e os três são naturais, b está entre a e a+2, então b=a+1.

Então a+b=a+(a+1)=13, logo a=6, b=7 e c=8.

Confira: b+c=7+8=15. ✓

Desigualdade triangular: 6+7=13>8. ✓

Perímetro do cartão:

6+7+8=21\ \text{cm}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com a+b=13 e b+c=15; não corresponde a lados naturais consecutivos que satisfazem as duas condições.
CNão satisfaz as equações; soma errada dos lados encontrados.
DResultaria de lados que não cumprem a+b=13 e b+c=15 ao mesmo tempo.
EPerímetro grande demais; ignora que c-a=2 força lados consecutivos.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 16 no caderno Nível 2 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗