Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Um quadrado ABCD tem área 1. Um ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB, partindo do ponto A para a direita, conforme mostra a figura. Se S é a área da região compreendida entre os quadrados ABCD e APQR, destacada em cinza, qual é o gráfico que melhor representa a variação de S em função de x?

Dois esquemas com quadrados ABCD e APQR com vértice comum A: à esquerda, P está sobre o lado AB com comprimento AP medindo x (x < 1), e a região interna a ABCD mas externa a APQR está sombreada em cinza; à direita, P está no prolongamento de AB com comprimento AP medindo x (x > 1), e a região interna a APQR mas externa a ABCD está sombreada em cinza.

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

Um quadrado ABCD tem área 1. Um ponto P desloca-se ao longo da semirreta AB, partindo do ponto A para a direita, conforme mostra a figura. Se S é a área da região compreendida entre os quadrados ABCD e APQR, destacada em cinza, qual é o gráfico que melhor representa a variação de S em função de x?

Dois esquemas com quadrados ABCD e APQR com vértice comum A: à esquerda, P está sobre o lado AB com comprimento AP medindo x (x < 1), e a região interna a ABCD mas externa a APQR está sombreada em cinza; à direita, P está no prolongamento de AB com comprimento AP medindo x (x > 1), e a região interna a APQR mas externa a ABCD está sombreada em cinza.

A
B
C
D
E

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Solução oficial da OBMEP

O lado do quadrado cuja área é 1 tem comprimento 1. Para calcular a área da região S compreendida entre os quadrados ABCD e APQR, no primeiro caso, em que o ponto P está no segmento \overline{\text{AB}}, temos que a distância x varia entre 0 e 1 e a expressão para a área é S(x) = 1 - x^2, cujo gráfico é um arco de parábola com concavidade para baixo.

No segundo caso, quando o ponto B está no segmento \overline{\text{BP}}, temos que a distância x é maior do que 1 e S(x) = x^2 - 1, cujo gráfico é um arco de parábola com concavidade para cima.

O gráfico que melhor representa a variação de S em função de x, ou seja, o gráfico da função S(x) = \begin{cases} 1 - x^2, 0 \le x \le 1 \\ x^2 - 1, x > 1 \end{cases} é o da alternativa A.

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A área cinza é a diferença entre as áreas dos dois quadrados, e o quadrado ABCD tem área 1. O quadrado APQR tem lado x, logo área x^2.

Para 0 \le x \le 1: APQR está dentro de ABCD, então S = 1 - x^2.
Para x \ge 1: ABCD está dentro de APQR, então S = x^2 - 1.

Portanto S = |x^2 - 1|.

Agora analisamos o formato do gráfico.

Em x=0, S=1; em x=1, S=0.
Para x<1, S=1-x^2 é um arco de parábola côncavo para baixo: começa com tangente horizontal em x=0 (derivada -2x=0) e vai ficando cada vez mais inclinado, chegando a x=1 com inclinação -2.
Para x>1, S=x^2-1 é côncava para cima e cresce cada vez mais rápido. Em x=1 a inclinação é +2, o que forma um "bico" no ponto (1,0).

Entre os gráficos, o A tem justamente esse formato: parte de (0,1) com tangente horizontal, desce em curva côncava para baixo até um bico em (1,0) e depois sobe em curva côncava para cima. O B chega suavemente a zero (tangente horizontal), o C e o E têm trechos retos, e o D tem a parte direita côncava para baixo.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BMostra o trecho inicial com concavidade para cima e chegando a zero com tangente horizontal, como (1-x)^2, e não 1-x^2.
CTrecho inicial retilíneo, como se S=1-x, ignorando que a área depende de x^2.
DO trecho para x>1 é côncavo para baixo, mas x^2-1 é côncavo para cima.
EOs dois trechos são retos, como se a área fosse linear em x.

Assunto: Função quadrática.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗