Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2015

Question

Na figura, o círculo das centenas está dividido em três setores, um semicircular e outros dois de mesma área. Cada um dos outros dois círculos está dividido em setores de mesma área. As setas nesses círculos, quando giradas, param ao acaso em algum setor, determinando um número de três algarismos. Por exemplo, na figura elas determinaram o número 331.

Qual é a probabilidade de que o número determinado pelas setas, após serem giradas, seja maior do que 260?

A
45\%
B
55\%
C
60\%
D
65\%
E
70\%

Answer 1

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Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2015

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Na figura, o círculo das centenas está dividido em três setores, um semicircular e outros dois de mesma área. Cada um dos outros dois círculos está dividido em setores de mesma área. As setas nesses círculos, quando giradas, param ao acaso em algum setor, determinando um número de três algarismos. Por exemplo, na figura elas determinaram o número 331.

Qual é a probabilidade de que o número determinado pelas setas, após serem giradas, seja maior do que 260?

A
45\%
B
55\%
C
60\%
D
65\%
E
70\%

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na roleta das centenas, a probabilidade de a seta parar no setor marcado com o número 3 é de 1/2, e a probabilidade de a seta parar no setor marcado com os números 1 ou 2 é de 1/4 para cada um deles. Na roleta das dezenas, a probabilidade de a seta parar num dos setores marcados com os números 1, 3, 4, 5 e 8 é de 1/5 para cada um deles. O número determinado pelas setas, depois de giradas, é maior que 260 quando acontece alguma das situações seguintes:

A seta da roleta das centenas para no setor marcado com 3, o que acontece com probabilidade 1/2. Não importa o que ocorre nas casas das dezenas e das unidades.
A seta da roleta das centenas para no setor marcado com 2 e a seta do setor das dezenas para no setor marcado com 8, o que acontece com probabilidade (1/4) \times (1/5). Não importa o que ocorre na casa das unidades.

Assim, a probabilidade de que o número determinado pelas setas, após serem giradas, seja maior do que 260 é

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{20}

o que representa uma porcentagem de 50\% + 5\% = 55\% de probabilidade.

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Resolução comentada

As três setas giram de forma independente, então podemos separar os casos pelo algarismo das centenas.

No círculo das centenas, o 3 ocupa metade do círculo, e o 1 e o 2 ocupam um quarto cada. Logo: P(3)=\frac{1}{2}, P(2)=\frac{1}{4} e P(1)=\frac{1}{4}.

Centena 3: o número é pelo menos 300, que é maior que 260 em qualquer caso. Contribuição: \frac{1}{2}=0{,}5.
Centena 1: o número é no máximo 199, que nunca passa de 260. Contribuição: 0.
Centena 2: o número é 2du e precisa ser maior que 260. Isso exige dezena maior que 6, ou dezena 6 com unidade maior que 0.

O círculo das dezenas tem cinco setores iguais com os números 8, 1, 3, 4 e 5. Nenhum deles é 6 ou mais, a não ser o 8. Então só a dezena 8 serve, com probabilidade \frac{1}{5}. Não há setor com 6 nem com 7, e o 8 já garante 28u>260, seja qual for a unidade.

Probabilidade nesse caso: \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{20}=0{,}05.

Somando: 0{,}5+0+0{,}05=0{,}55=55\%.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai algo indevido, por exemplo ignora parte da contribuição da centena 3 ou da dezena 8 com centena 2.
CSoma parcelas a mais, como contar também a dezena 5 ou 4 com centena 2.
DConta a centena 2 como favorável em 3/4 das dezenas, em vez de só a dezena 8.
EConsidera a centena 2 quase sempre favorável, superestimando esse caso.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 3. Prova oficial ↗