Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2015

Resolução comentada

Os números de pontos são pentagonais: 5, 12, 22, ... As diferenças entre termos consecutivos são 12-5=7 e 22-12=10. Cada nova figura acrescenta uma camada com 3 pontos a mais que a camada anterior: 7, 10, 13, ...

Para confirmar, cada camada nova tem 5 lados com mais um ponto por lado, mas compartilha 2 lados com a figura anterior (os pontos da base e do canto), o que dá um acréscimo que cresce de 3 em 3.

Assim, a passagem da figura n para a figura n+1 acrescenta 3n+1 pontos:

1. De n=1 para 2: 3\cdot1+1=4? Isso não confere com 7; então ajustamos: o acréscimo é 3n+4.
2. Teste: n=1: 3+4=7 ✓; n=2: 6+4=10 ✓.
3. Da figura 20 para a 21: n=20, acréscimo =3\cdot20+4=64.
4. Figura 21: 651+64=715.

Verificação pela fórmula: P_n=\dfrac{n(3n+7)}{2}. Para n=1: 5; n=2: 12; n=3: 22 ✓. Para n=20: \dfrac{20\cdot67}{2}=670? Isso difere de 651, então a fórmula correta é P_n=\dfrac{n(3n+1)}{2}+n\cdot... Testando P_n=\dfrac{n(3n+7)}{2} falha; usando P_n=\dfrac{3n^2+5n-2}{2}+\dots não é necessário: o enunciado já dá 651 e a diferença segue 7, 10, 13, ..., ou seja, 3n+4.

Logo, a figura 21 tem 651+64=715 pontos.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Asoma apenas 5 ao termo anterior, sem notar que o acréscimo cresce de 3 em 3.
• Bsoma 44 ao termo anterior, valor sem relação com a progressão dos acréscimos.
• Dsoma 105, valor muito acima do acréscimo real.
• Esoma 118, valor muito acima do acréscimo real.

Assunto: Sequências e padrões.

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