Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2015

Question

Quais dos polígonos desenhados no quadriculado têm o mesmo perímetro?

Malha quadriculada com quatro figuras sombreadas: I é um octógono, II é um triângulo retângulo, III é um quadrado e IV é um triângulo isósceles.

A
IV e III
B
IV e II
C
IV e I
D
III e II
E
II e I

Answer 1

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Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2015

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Quais dos polígonos desenhados no quadriculado têm o mesmo perímetro?

Malha quadriculada com quatro figuras sombreadas: I é um octógono, II é um triângulo retângulo, III é um quadrado e IV é um triângulo isósceles.

A
IV e III
B
IV e II
C
IV e I
D
III e II
E
II e I

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Os perímetros das figuras podem ser observados diretamente. A figura I possui perímetro formado por 8 lados do quadradinho básico que constitui o quadriculado, mais 4 diagonais destes mesmos quadradinhos. O mesmo ocorre com a figura II.

A figura III tem perímetro igual a 12 lados do quadradinho básico do quadriculado e a figura IV tem perímetro igual a 6 lados do quadradinho básico acrescido de 6 diagonais desses quadradinhos. Deste modo, como a diagonal de um quadradinho mede mais do que o lado do mesmo quadradinho, somente as figuras I e II têm o mesmo perímetro.

[Figura: Malha quadriculada exibindo quatro figuras geométricas cinzas: a figura I é um octógono formado cortando-se os cantos de um quadrado de lado 4; a figura II é um triângulo retângulo de catetos medindo 4 unidades; a figura III é um quadrado de lado 3; a figura IV é um triângulo isósceles de base medindo 6 unidades e altura 3.]

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Resolução comentada

Considere o lado de cada quadradinho como 1 e a diagonal de um quadradinho como d. Os lados horizontais e verticais valem números inteiros de unidades; os lados inclinados, que cortam quadradinhos na diagonal, valem d por quadradinho percorrido.

Lendo a figura:

Figura I (octógono): a figura mostra 4 lados retos de 2 unidades e 4 lados diagonais de 1 diagonal cada. Perímetro: 4\cdot 2 + 4d = 8 + 4d.
Figura II (triângulo retângulo): catetos de 4 unidades cada e hipotenusa que atravessa 4 diagonais. Perímetro: 4 + 4 + 4d = 8 + 4d.
Figura III (quadrado): lado 3, perímetro 4\cdot 3 = 12.
Figura IV (triângulo isósceles): base de 6 unidades e dois lados iguais, cada um com 3 diagonais. Perímetro: 6 + 3d + 3d = 6 + 6d.

Comparando: I e II têm o mesmo perímetro, 8+4d. O quadrado (12) e o triângulo IV (6+6d) são diferentes, pois d\approx 1{,}41 dá 6+6d\approx 14{,}5, e I e II dão \approx 13{,}6.

Portanto, os polígonos com o mesmo perímetro são II e I.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIV tem perímetro 6+6d e III tem 12, que são diferentes.
BIV vale 6+6d e II vale 8+4d; as parcelas de diagonal não coincidem.
CIV (6+6d) e I (8+4d) diferem, pois há mais diagonais em IV.
DIII tem perímetro 12, sem diagonais, e II tem 8+4d.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 10 no caderno Nível 1 da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2015 · Nível 1. Prova oficial ↗