Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2014

Question

A sequência -6, 12, -18, 24, -30, 36, ... é obtida a partir dos múltiplos positivos de 6, multiplicando-se os termos nas posições ímpares por -1. Observe na figura que a soma dos dois primeiros termos da sequência é igual a 6 e a soma dos três primeiros termos é igual a -12. Quantos termos consecutivos dessa sequência devemos somar, a partir do primeiro, para obter 180 como resultado?

Quadro-negro verde com moldura marrom contendo as equações: "-6 + 12 = 6", "-6 + 12 - 18 = -12", "-6 + 12 - 18 + 24 = 12" e, na linha abaixo, três pontos de reticências.

A
30
B
60
C
90
D
120
E
180

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2014

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

A sequência -6, 12, -18, 24, -30, 36, ... é obtida a partir dos múltiplos positivos de 6, multiplicando-se os termos nas posições ímpares por -1. Observe na figura que a soma dos dois primeiros termos da sequência é igual a 6 e a soma dos três primeiros termos é igual a -12. Quantos termos consecutivos dessa sequência devemos somar, a partir do primeiro, para obter 180 como resultado?

Quadro-negro verde com moldura marrom contendo as equações: "-6 + 12 = 6", "-6 + 12 - 18 = -12", "-6 + 12 - 18 + 24 = 12" e, na linha abaixo, três pontos de reticências.

A
30
B
60
C
90
D
120
E
180

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Resolução comentada

Os termos são -6, 12, -18, 24, \dots, isto é, o n-ésimo termo é 6n com sinal negativo se n é ímpar e positivo se n é par.

A ideia é agrupar os termos de dois em dois, pois cada par tem soma constante:

(-6+12)=6,\quad (-18+24)=6,\quad (-30+36)=6,\ \dots

Cada par (posições 2k-1 e 2k) vale -6(2k-1)+6(2k)=6.

Assim, somando um número par de termos, 2k, o resultado é 6k. Confira com a figura: 4 termos dão k=2, logo 12, o que bate com a lousa.

Para obter 180:

6k=180
k=30 pares
número de termos: 2\cdot 30=60

Se fosse um número ímpar de termos, a soma seria a de k pares menos o termo ímpar seguinte, que é negativo, ou seja, 6k-6(2k+1)<0 e nunca daria 180. Então só podemos ter número par de termos, e a resposta é 60.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem acha k=30 e responde com o número de pares, não de termos.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa 30, que é o número de pares, e esquece de multiplicar por 2 para obter o número de termos.
CNão corresponde a nenhuma soma: 90 termos dariam 6\cdot45=270.
D120 termos dariam 6\cdot60=360, o dobro do pedido.
EConfunde o valor da soma (180) com a quantidade de termos.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗