Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2014

Question

Juntando, sem sobreposição, quatro ladrilhos retangulares de 10\ \text{cm} por 45\ \text{cm} e um ladrilho quadrado de lado 20\ \text{cm}, Rodrigo montou a figura abaixo. Com uma caneta vermelha ele traçou o contorno da figura. Qual é o comprimento desse contorno?

Figura formada por um ladrilho quadrado azul central cercado por quatro ladrilhos retangulares amarelos dispostos em forma de cata-vento, com todo o contorno externo destacado por uma linha vermelha.

A
180\ \text{cm}
B
200\ \text{cm}
C
220\ \text{cm}
D
280\ \text{cm}
E
300\ \text{cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Juntando, sem sobreposição, quatro ladrilhos retangulares de 10\ \text{cm} por 45\ \text{cm} e um ladrilho quadrado de lado 20\ \text{cm}, Rodrigo montou a figura abaixo. Com uma caneta vermelha ele traçou o contorno da figura. Qual é o comprimento desse contorno?

Figura formada por um ladrilho quadrado azul central cercado por quatro ladrilhos retangulares amarelos dispostos em forma de cata-vento, com todo o contorno externo destacado por uma linha vermelha.

A
180\ \text{cm}
B
200\ \text{cm}
C
220\ \text{cm}
D
280\ \text{cm}
E
300\ \text{cm}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O comprimento do contorno em vermelho é a soma dos comprimentos dos segmentos que formam o contorno. Com exceção dos segmentos mais grossos, destacados em azul, os comprimentos de todos os outros são fornecidos pelo enunciado. Para encontrarmos o comprimento dos segmentos destacados em azul observamos que

(\text{comprimento de um segmento de traço azul}) + 10 + 20 = 45\text{ .}

Logo o comprimento de um traço azul é 15 cm e assim o contorno da figura mede 4 \cdot (45) + 4 \cdot (15) + 4 \cdot (10) = 180 + 60 + 40 = 280\text{ cm}.

[Figura: Esquema dos quatro retângulos amarelos dispostos ao redor de um quadrado azul central, com o contorno externo delimitado em vermelho e quatro segmentos destacados em linhas azuis mais grossas.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

O comprimento do contorno é o perímetro externo da figura. Por isso, as linhas em que dois ladrilhos se encostam não entram na soma. O quadrado azul está totalmente cercado, então nenhum de seus lados faz parte do contorno vermelho.

Observe o retângulo amarelo de cima. Seu lado maior de cima, de 45\ \text{cm}, está inteiramente no contorno. Já o lado maior de baixo encosta no quadrado por 20\ \text{cm} e no retângulo da esquerda por 10\ \text{cm}. Assim, sobra exposto um trecho de:

45-20-10=15\ \text{cm}.

Dos dois lados menores desse retângulo, apenas o da esquerda está exposto, acrescentando 10\ \text{cm}. Portanto, sua contribuição para o contorno é:

45+15+10=70\ \text{cm}.

Os quatro retângulos estão dispostos da mesma maneira, apenas girados. Cada um contribui com esses mesmos três trechos. Logo, o comprimento total é:

P=4\cdot70=280\ \text{cm}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta apenas quatro lados de 45 cm e ignora os demais trechos externos.
BCorresponde a 50 cm por retângulo, mas cada um contribui com 70 cm de contorno.
CCorresponde a 55 cm por retângulo, deixando de contar parte dos trechos externos.
ECorresponde a 75 cm por retângulo, acima dos 70 cm efetivamente expostos.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 3 no caderno Nível 1 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗