Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2014

Question

Rodrigo brinca com uma fita de dois metros, com marcas de centímetro em centímetro. Começando pela ponta de marca 0\text{ cm}, ele dobra a fita várias vezes em zigue-zague, como na figura, sobrepondo pedaços de fita de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que pode ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas de 49\text{ cm} e de 71\text{ cm} ficaram sobrepostas em pedaços vizinhos. Ele observa também que a marca de 139\text{ cm} ficou alinhada com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a ponta final da fita ficou sobreposta?

Fita métrica dobrada em zigue-zague em várias camadas, com a extremidade inferior marcada com 0 e a ponta superior puxada para cima e para a direita com a marcação 200.

A
160\text{ cm}
B
176\text{ cm}
C
184\text{ cm}
D
190\text{ cm}
E
196\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2014

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Rodrigo brinca com uma fita de dois metros, com marcas de centímetro em centímetro. Começando pela ponta de marca 0\text{ cm}, ele dobra a fita várias vezes em zigue-zague, como na figura, sobrepondo pedaços de fita de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que pode ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas de 49\text{ cm} e de 71\text{ cm} ficaram sobrepostas em pedaços vizinhos. Ele observa também que a marca de 139\text{ cm} ficou alinhada com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a ponta final da fita ficou sobreposta?

Fita métrica dobrada em zigue-zague em várias camadas, com a extremidade inferior marcada com 0 e a ponta superior puxada para cima e para a direita com a marcação 200.

A
160\text{ cm}
B
176\text{ cm}
C
184\text{ cm}
D
190\text{ cm}
E
196\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como as marcas 49 e 71 ficaram sobrepostas em pedaços que são vizinhos, houve uma dobra exatamente no ponto médio, isto é, em (49 + 71) / 2 = 60. Como o processo iniciou-se com a marca 0, o tamanho de cada pedaço, isto é, a distância entre duas dobras sucessivas, deve ser um divisor de 60. Os divisores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e o próprio 60. Mas, estando 49 e 71 em pedaços vizinhos, descartamos os divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 10 pois a distância de 49 (ou 71) até a dobra 60 é 11, maior do que todos eles. Resta decidir qual é o tamanho de cada pedaço dentre as possibilidades 12, 15, 20, 30 ou 60 e, para isto, usaremos a informação de que a marca 139 ficou alinhada com 49 e 71.

As distâncias da marca de 139 aos dois pontos anteriores são, respectivamente, 90 e 68. Como a marcação de 139 coincide com as anteriores, uma dessas distâncias deve ser um múltiplo do dobro do tamanho da dobra, ou seja, deve ser um múltiplo de 24, 30, 40, 60 ou 120. Mas 68 não é um múltiplo de nenhum desses números, enquanto 90 é múltiplo apenas de 30. Portanto, o tamanho de cada pedaço é 15, o que faz com que a última dobra ocorra na marca de 195\text{ cm} e, daí, ao dobrar-se o último pedaço, a marca de 200\text{ cm} fica sobre 195 - (200 - 195) = 190\text{ cm}.

As figuras a seguir ilustram o que acontece para os cinco possíveis valores das medidas dos pedaços.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 12, teríamos a situação descrita pela figura ao lado e a marca 139 não estaria alinhada com 71 e 49. Logo, este caso não ocorre.

[Figura: Esquema da fita dobrada em zigue-zague com pedaços de comprimento 12, de 0 a 144 cm, com linha vertical tracejada indicando o alinhamento das marcas 49 e 71 e mostrando a marca 139 desalinhada.]

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 15, teríamos a seguinte situação:

[Figura: Esquema da fita dobrada em zigue-zague com pedaços de comprimento 15, de 0 a 200 cm, com linha tracejada vertical indicando o alinhamento das marcas 49, 71 e 139, e a marca 200 alinhada à marca 190.]

Este é o único caso correto. De fato, veremos a seguir que os demais casos não podem ocorrer:

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 20, teríamos a seguinte situação:

[Figura: Esquema da fita dobrada em zigue-zague com pedaços de comprimento 20, de 0 a 200 cm, com linha tracejada vertical passando por 49 e 71, e mostrando a marca 139 desalinhada.]

Este caso também não pode ocorrer pois 139 não se alinha com 49 e 71.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 30, teríamos a seguinte situação:

[Figura: Esquema da fita dobrada em zigue-zague com pedaços de comprimento 30, de 0 a 200 cm, mostrando a posição das marcas 49, 71 e 139 desalinhadas.]

E vemos que também este caso também não ocorre.

Finalmente, se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 60, teríamos a seguinte situação:

[Figura: Esquema da fita dobrada em zigue-zague com pedaços de comprimento 60, de 0 a 200 cm, mostrando as posições das marcas 49, 71 e 139.]

Este último caso também não ocorre.

Logo o comprimento de cada pedaço é 15 cm e a última dobra é feita na marca 195; assim a marca 200 alinha-se com a marca 190, a qual está no penúltimo pedaço.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Quando dois pedaços vizinhos são dobrados um sobre o outro, marcas sobrepostas ficam à mesma distância da dobra. Assim, a dobra entre 49 e 71 está na marca

\frac{49+71}{2}=60\ \text{cm}.

Se cada pedaço completo mede L, as dobras ocorrem em L,2L,3L,\ldots. Portanto, 60=kL, com k inteiro positivo. Além disso, L\geq 11, pois a distância de cada uma dessas marcas à dobra é 11\ \text{cm}. Logo, k só pode ser 1,2,3,4 ou 5, dando

L\in\{60,30,20,15,12\}\ \text{cm}.

No zigue-zague, a posição de uma marca se repete a cada 2L centímetros. Também há sobreposição por reflexão: duas marcas cuja soma é múltipla de 2L ficam alinhadas. Por isso, para 139 ficar alinhada com 49, pelo menos um dos números

139-49=90\quad\text{ou}\quad139+49=188

deve ser múltiplo de 2L.

Testando os cinco comprimentos, somente L=15 serve: 90=3\cdot(2\cdot15); nenhum dos demais satisfaz a condição.

Como a fita mede 200\ \text{cm}, sua última dobra está em 195=13\cdot15. O pedaço final mede 200-195=5\ \text{cm}. Ao dobrá-lo, a ponta fica sobre a marca que está 5\ \text{cm} antes de 195:

195-5=190\ \text{cm}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA sobreposição com 160 exigiria uma última dobra em 180 cm, mas ainda há uma dobra em 195 cm.
BA sobreposição com 176 exigiria uma última dobra em 188 cm, que não é múltiplo de 15 cm.
CA sobreposição com 184 exigiria uma última dobra em 192 cm, que não é múltiplo de 15 cm.
EA sobreposição com 196 exigiria uma última dobra em 198 cm, que não é múltiplo de 15 cm.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 20 no caderno Nível 2 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗