Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Cada aresta do cubo grande fica dividida em n cubinhos. Vamos contar os dois tipos de cubinho que interessam.

Sem nenhuma face pintada: são os cubinhos do interior, que não encostam em nenhuma face do cubo grande. Se tiramos a camada externa dos dois lados de cada aresta, sobram n-2 cubinhos por aresta. Logo, o número é (n-2)^3.

Com exatamente uma face pintada: ficam no meio de cada face, sem tocar as bordas. Em cada face há um quadrado de (n-2)\times(n-2) desses cubinhos. Como o cubo tem 6 faces, o número é 6(n-2)^2.

Igualando:

1. (n-2)^3 = 6(n-2)^2
2. Como n>2, n-2\neq 0, então podemos dividir por (n-2)^2: n-2 = 6
3. n = 8

Conferindo: (8-2)^3 = 216 e 6\cdot 6^2 = 216. Os dois valores são iguais.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AResulta de n-2=5; não satisfaz a igualdade, pois 5^3=125\neq 6\cdot 25=150.
• CResulta de n-2=7; daria 343\neq 294.
• DResulta de n-2=8; daria 512\neq 384.
• EResulta de n-2=9; daria 729\neq 486.

Assunto: Prismas e paralelepípedos.

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