Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Seja x o número de caras seguidas que ele obtém a partir de agora. Cada lançamento novo é uma cara, então tanto o total de caras quanto o total de lançamentos aumentam em x.

Depois dos novos lançamentos:

• caras: 997 + x
• lançamentos: 2014 + x

Queremos que as caras sejam a metade dos lançamentos:

1. 997 + x = \dfrac{2014 + x}{2}
2. Multiplicando por 2: 1994 + 2x = 2014 + x
3. Isolando x: 2x - x = 2014 - 1994
4. x = 20

Conferindo: com 20 caras a mais, ele tem 997 + 20 = 1017 caras em 2014 + 20 = 2034 lançamentos, e 2034/2 = 1017. Confere.

Outra forma de ver: faltam 1007 - 997 = 10 caras para metade de 2014, mas cada nova cara também aumenta a metade do total em 0{,}5. Assim, a diferença de 17 (ou seja, 1007-997=10) diminui só 0{,}5 por lançamento. Dá 10/0{,}5 = 20.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem calcula só quanto falta para 1007 caras (10), sem notar que o total de lançamentos também aumenta.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa só a diferença 1007-997=10, esquecendo que a metade do total também cresce a cada lançamento.
• BNão corresponde a nenhuma equação correta; com 15 caras, 1012 não é metade de 2029.
• DValor sem base na equação; com 30 caras, 1027 não é metade de 2044.
• EDobra o resultado correto; com 40 caras, 1037 não é metade de 2054.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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