Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2014

Question

Rodrigo brinca com uma fita de dois metros, com marcas de centímetro em centímetro. Começando pela ponta de marca 0 cm, ele dobra a fita várias vezes em zigue-zague, como na figura, sobrepondo pedaços de fita de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que pode ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas de 49 cm e de 71 cm ficaram sobrepostas em pedaços vizinhos. Ele observa também que a marca de 139 cm ficou alinhada com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a ponta final da fita ficou sobreposta?

Fita dobrada repetidamente em zigue-zague sobre si mesma, indicando a ponta inferior com a marca 0 e a extremidade superior estendida com a marca 200.

A
160 cm
B
176 cm
C
184 cm
D
190 cm
E
196 cm

Answer 1

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Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Rodrigo brinca com uma fita de dois metros, com marcas de centímetro em centímetro. Começando pela ponta de marca 0 cm, ele dobra a fita várias vezes em zigue-zague, como na figura, sobrepondo pedaços de fita de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que pode ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas de 49 cm e de 71 cm ficaram sobrepostas em pedaços vizinhos. Ele observa também que a marca de 139 cm ficou alinhada com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a ponta final da fita ficou sobreposta?

Fita dobrada repetidamente em zigue-zague sobre si mesma, indicando a ponta inferior com a marca 0 e a extremidade superior estendida com a marca 200.

A
160 cm
B
176 cm
C
184 cm
D
190 cm
E
196 cm

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como as marcas 49 e 71 ficaram sobrepostas em pedaços que são vizinhos, houve uma dobra exatamente no ponto médio, isto é, em (49 + 71) / 2 = 60. Como o processo iniciou-se com a marca 0, o tamanho de cada pedaço, isto é, a distância entre duas dobras sucessivas, deve ser um divisor de 60. Os divisores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e o próprio 60. Mas, estando 49 e 71 em pedaços vizinhos, descartamos os divisores 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 10 pois a distância de 49 (ou 71) até a dobra 60 é 11, maior do que todos eles. Resta decidir qual é o tamanho de cada pedaço dentre as possibilidades 12, 15, 20, 30 ou 60 e, para isto, usaremos a informação de que a marca 139 ficou alinhada com 49 e 71.

As distâncias da marca de 139 aos dois pontos anteriores são, respectivamente, 90 e 68. Como a marcação de 139 coincide com as anteriores, uma dessas distâncias deve ser um múltiplo do dobro do tamanho da dobra, ou seja, deve ser um múltiplo de 24, 30, 40, 60 ou 120. Mas 68 não é um múltiplo de nenhum desses números, enquanto 90 é múltiplo apenas de 30. Portanto, o tamanho de cada pedaço é 15, o que faz com que a última dobra ocorra na marca de 195\text{ cm} e, daí, ao dobrar-se o último pedaço, a marca de 200\text{ cm} fica sobre 195 - (200 - 195) = 190\text{ cm}.

As figuras a seguir ilustram o que acontece para os cinco possíveis valores das medidas dos pedaços.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 12, teríamos a situação descrita pela figura ao lado e a marca 139 não estaria alinhada com 71 e 49. Logo, este caso não ocorre.

[Figura: Esquema em zigue-zague da fita dobrada em pedaços de comprimento 12, com as dobras nas marcas de 0 a 144, indicando que as marcas 49 e 71 estão alinhadas verticalmente, mas a marca 139 não se alinha a elas.]

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 15, teríamos a seguinte situação:

[Figura: Esquema em zigue-zague da fita dobrada em pedaços de comprimento 15, de 0 a 195, com a sobra até 200 alinhada sobre 190, mostrando as marcas 49, 71 e 139 perfeitamente alinhadas na vertical.]

Este é o único caso correto. De fato, veremos a seguir que os demais casos não podem ocorrer:

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 20, teríamos a seguinte situação:

[Figura: Esquema em zigue-zague da fita dobrada em pedaços de comprimento 20, de 0 a 200, mostrando as marcas 49 e 71 alinhadas, enquanto a marca 139 não se alinha com elas.]

Este caso também não pode ocorrer pois 139 não se alinha com 49 e 71.

Se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 30, teríamos a seguinte situação:

[Figura: Esquema em zigue-zague da fita dobrada em pedaços de comprimento 30, de 0 a 200, mostrando as marcas 49 e 71 alinhadas, e a marca 139 desalinhada.]

E vemos que também este caso também não ocorre.

Finalmente, se o tamanho de cada pedaço fosse igual a 60, teríamos a seguinte situação:

[Figura: Esquema em zigue-zague da fita dobrada em pedaços de comprimento 60, de 0 a 200, mostrando que a marca 139 não se alinha com 49 e 71.]

Este último caso também não ocorre.

Logo o comprimento de cada pedaço é 15\text{ cm} e a última dobra é feita na marca 195; assim a marca 200 alinha-se com a marca 190, a qual está no penúltimo pedaço.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada pedaço tem comprimento L. Em pedaços vizinhos, as marcas que se sobrepõem ficam simétricas em relação à dobra entre eles.

As marcas 49 e 71 estão em pedaços vizinhos e coincidem, então a dobra está em \frac{49+71}{2}=60 cm. Logo L é um múltiplo de 60 (as dobras ficam em L, 2L, 3L,\dots), e a dobra de 60 cm é uma delas.

A marca 139 também está alinhada com as outras. Ela fica a 139 − 71 = 68 cm de 71, e uma marca alinhada deve ter, dentro do pedaço, posição igual a 49 ou a 71 (depende do sentido do pedaço).

Testando L=60: 49 e 71 caem nas posições 49 (pedaço 1) e 11 (pedaço 2, contado do início), que não coincidem. Então 60 não é o comprimento, e a dobra em 60 é a k-ésima, com L=60/k.

Para L=60: 71 está a 11 cm da dobra. Já 49 está a 11 cm da dobra, ok, pois 60−49=11 e 71−60=11. Então são vizinhas e coincidem.
Posições dentro do pedaço: 49 e 71 correspondem a 49 e 11 (do início de cada pedaço). Marca 139: pedaço 3 vai de 120 a 180; 139 está a 19 cm do início, não coincide. Logo L\ne60.
Tentando L=20: 49 → pedaço 3 (40 a 60), 9 cm do início; 71 → pedaço 4 (60 a 80), 11 cm: distância à dobra 60 é 11 e 11, mas 49 está a 11 da dobra, ok. Com L=20, 139 está no pedaço 7 (120 a 140), a 1 cm do fim, não coincide.
Tentando L=30: 49 está a 11 da dobra 60 (pedaço 2), 71 a 11 (pedaço 3). Marca 139 está no pedaço 5 (120 a 150), a 19 do início; não coincide.
Tentando L=12: dobras em 60. 49 está no pedaço 5 (48 a 60), 1 cm após o início; 71 no pedaço 6 (60 a 72), 11 cm, ou seja, 1 cm antes do fim. 139 está no pedaço 12 (132 a 144), 7 cm do início; não coincide.
Tentando L=22: dobra em 66, não 60.

A marca 139 tem distância d até a dobra 60 com d=79; para alinhar, 79 deve ser \pm11 módulo 2L. Então 2L divide 68 ou 90, com L divisor de 60, logo L=45? Não: 2L=90\Rightarrow L=45, mas 45 não divide 60. Já 2L=68 dá L=34, que não divide 60. Resta L=\frac{60}{k} com 2L=120/k dividindo 90: k=4, L=15 (2L=30 divide 90).

Com L=15: 200 = 13·15 + 5. Os pedaços 1 a 13 completos e um último de 5 cm. O penúltimo é o pedaço 13 (180 a 195), e a ponta 200 fica 5 cm além da dobra em 195, simétrica a 190.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

A160 cm não corresponde à reflexão da ponta final na última dobra (195 cm).
B176 cm vem de um comprimento de pedaço errado.
C184 cm vem de um comprimento de pedaço errado.
E196 cm seria a reflexão de 194, não de 200.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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