Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Queremos contar números de quatro algarismos, todos distintos, com exatamente um ímpar e três pares, sendo o 0 um dos pares (e o 0 não pode ficar na primeira posição).

Os pares são 0,2,4,6,8 e os ímpares são 1,3,5,7,9.

1. Escolha do ímpar: 5 possibilidades.
2. Escolha dos outros dois pares, entre 2,4,6,8: \binom{4}{2}=6 possibilidades.
3. Com os quatro algarismos escolhidos (0, dois pares não nulos e um ímpar), contamos as ordens possíveis. Total de permutações: 4!=24. Como o 0 não pode vir na frente, descontamos as que começam por 0: 3!=6. Sobram 24-6=18 ordens.

Multiplicando:

Conferindo por outro caminho: o primeiro algarismo não pode ser 0. Se ele é o ímpar (5 opções), os outros três são 0 e dois pares não nulos, em 3!=6 ordens, com 6 escolhas dos pares: 5\cdot6\cdot6=180. Se ele é par não nulo (4 opções), falta escolher mais um par não nulo (3 opções), e o ímpar (5 opções); os três algarismos restantes (0, o outro par e o ímpar) ficam em 3!=6 ordens: 4\cdot3\cdot5\cdot6=360. Soma: 180+360=540.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta apenas parte dos casos, sem considerar todas as escolhas e permutações dos algarismos.
• BConta só os números em que o primeiro algarismo é o ímpar, esquecendo os que começam com par não nulo.
• CConta só os números que começam com par não nulo, esquecendo os que começam com o ímpar.
• DValor sem justificativa: não decorre de nenhuma contagem correta dos casos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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